در اين ‏پايان نامه‏، ‏به‎ بررسي روشهاي پايدار براي ارزيابي توابع پايه اي شعاعي ‏پرداخته مي شود. توابع پايه اي شعاعي ابزار قدرتمندي براي تقريب جواب مسائل چندبعدي هستند كه داراي مرتبه همگرايي نمايي هستند. بهترين دقت زماني حاصل مي شود كه پارامتر شكل توابع پايه اي كوچك باشد كه اين امر سبب مي شود ماتريس درونياب به شدت بدوضع شود. براي غلبه بر اين مشكل‏، نياز به روشهاي پايدار در ارزيابي توابع پايه اي شعاعي محرز است. در اين پايان نامه يك روش پايدار براي براورد تابع پايه اي شعاعي گاوسي بر اساس بسط تابع ويژه را مطالعه مي كنيم. روش مورد نظر در فضاهاي يك بعدي و دوبعدي بررسي مي كنيم. با استفاده از تعامد توابع ويژه فرمول هاي صريحي براي درونيابي يك بعدي و دو بعدي بدست مي آيند. از ويژگي هاي روش ارائه شده مي توان به دقت بالا‏، پياده سازي آسان‏، هزينه محاسباتي پايين براي مسائل چند بعدي اشاره نمود. روش فوق براي درونيابي يك بعدي و دوبعدي قابل پياده سازي است. همچنين روش فوق را مي توانيم در حل معادلات ديفرانسيل جزئي يك بعدي و دو بعدي همچون معادله پواسون بكار ببريم. دقت‏، استحكام و كارايي محاسباتي روش با مثالهاي متنوعي در فصل پاياني پايان نامه مورد آزمايش قرار گرفته است.

1397/02/11

2/21/2018 12:00:00 AM

‎‎This thesis studies on stable methods for evaluating ‎‎Radial basis functions (RBFs). RBFs are a powerful tool for approximating the solution of high-dimensional problems‎. ‎They are often referred to as a meshfree method and can be spectrally accurate‎. ‎The best accuracy can often be achieved when the so-called shape parameter of the basis functions is small‎, ‎which in turn tends to make the interpolation matrix increasingly ill-conditioned‎. ‎To overcome such instability in the numerical method‎, ‎which arises from even the most stable problems‎, ‎one needs to stabilize the method‎. ‎In this thesis, we present a new stable method for evaluating Gaussian radial basis function interpolants based on the eigenfunction expansion for Gaussian RBFs‎. ‎We develop our approach in one and two-dimensional spaces‎, ‎with the extension to higher dimensions proceeding analogously‎. ‎In the univariate setting, the orthogonality of the eigenfunctions and our special collocation locations give rise to easily computable cardinal basis functions‎. ‎High accuracy‎, ‎simple implementation and low complexity for high-dimensional problems are the advantages of our approach‎. ‎The accuracy‎, ‎robustness and computational efficiency of the method are tested by numerically solving several interpolations and boundary value problems in one and two dimensions ‎like Poisson equation.