19203

۱۹۲۰۳

كاربرد توابع بي اسپلاين در مدل هاي نوين قيمت گذاري مشتقات مالي

دكتري

رياضي كاربردي - آناليز عددي

۹۶-۹۷

۱۳۹۶/۰۸/۰۳

دكتر جليل رشيدي نيا

دكتر خسرو مالك نژاد

رياضي

در اين رساله با استفاده از روش هم محلي بي اسپلاين و فُرم تعميم يافته آن كه در رده روش هاي مبتني بر شبكه قرار مي گيرد، به تقريب جواب برخي معادلات ديفرانسيل برآمده از قيمت گذاري اختيارات معامله كه از انواع مشتقات مالي است، پرداخته ايم. ابتدا روش هم محلي بي اسپلاين را براي قيمت گذاري اختيارات اروپايي و آمريكايي با يك دارايي به كار گرفته ايم. با مشاهده كارايي مناسب روش در تقريب معادلات قيمت گذاري اختيار معامله و همچنين حجم محاسباتي پايين برآن شديم تا در ادامه به تقريب مسائل اروپايي و آمريكايي در دو بعد بپردازيم كه فاقد جواب تحليلي مي باشند. از اين رو تقريب بي اسپلاين دوبعدي را براي نخستين بار براي حل معادلات قيمت گذاري اختيارات با چند دارايي به كار گرفتيم كه به نتايج خوبي منتهي شد. به علاوه به دليل وجود شرايط اوليه ناپيوسته در مدل هاي مالي مورد مطالعه، از تكنيك هاي مناسب جهت هموارسازي و همچنين بالا بردن دقت جواب با وجود ناپيوستگي اوليه، بهره برده ايم. در ادامه به قيمت گذاري اختيارات بامانع و آسيايي پرداختيم كه از جمله اختيارات غيراستاندارد و وابسته به مسير بوده و چه از نقطه نظر مالي و چه از جنبه رياضياتي مدل هاي جالب توجهي هستند. در اين بخش به منظور بالابردن دقت و مرتبه همگرايي، از روش هم محلي بي اسپلاين در نقاط گاوسين بهره برديم كه دقت روش را به طور قابل ملاحظه اي افزايش مي دهد. لازم به ذكر است كه پايداري روش و همچنين هزينه محاسباتي آن نيز به تفصيل مورد مطالعه قرار گرفته است.

1397/03/05

Application of B-spline functions for pricing the new models in financial derivatives

1/20/2018 12:00:00 AM

In this thesis, we consider application of B-spline method for approximating financial models especially option pricing models based on Black-Scholes model. We use the θ-method for temporal discretization and the modified bi-cubic B-spline collocation method in spatial direction. To this end first, we consider one and two-dimensional Black-Scholes equations for pricing European and American options. Moreover, because of some discontinuities along the initial conditions, we use a smoothing approach in order to increase accuracy. To speed the convergence of the proposed method, we implement B-spline collocation approach at Gaussian knots of partition rather than natural nodes in the case of pricing American style Asian options as path-dependent options. The presented schemes have been tested by some test problems to verify their applicable and accurate nature. It should be noted that modified bi-cubic B-spline collocation method leads to banded and sparse matrices. Results obtained by this method have been found to be in good agreement with the known exact solution. The numerical results also have been compared with some available results given in the literature.