گروه ‎ G ‎ را در نظر بگيريد،گراف تواني افزايش يافته‌ي گروه ‎ G ‎ با Ge(G)‎ نشان داده مي‌شود. دو رأس ‎ x ‎ و ‎ y ‎ در گراف تواني افزايش يافته‌ي گروه‎ G ‎ به هم متصل هستند اگر ‎ z ‎ در ‎ G ‎ وجود داشته باشد، به طوري كه ‎ x = z^{m} ‎ و ‎ y = z^{n} ‎ كه m‎‎ و ‎ n ‎ اعداد طبيعي هستند. در اين پايان‌نامه نشان داده مي‌شود كه گراف (Ge(G كامل است اگر و تنها اگر G دوري باشد و (‎Ge(G اويلري است اگر و تنها اگر كاردينال G فرد باشد. همچنين همه‌ي گروه‌هاي آبلي و همه‌ي ‎-‎p‎گروه‌هاي ناآبلي G‎ كه ‎ Ge(G) ‎ احاطه‌گر است مشخص مي‌شود. علاوه بر اين نشان داده مي‌شود كه يك تناظر يك به يك بين خوشه‌هاي ماكسيمال در ‎ Ge(G)‎ و زيرگروه‌هاي دوري ماكسيمال ‎ G ‎ وجود دارد.

1397/07/24

On the structure of the power graph and the enhanced power graph of a group

10/2/2018 12:00:00 AM

Given a group G, the enhanced power graph of G denoted by Ge(G), is the graph with vertex set G and two distinct vertices x,y are edge connected in Ge(G) if there exists z ∈ G such that x = z^{m} and y = z^{n} for some m,n ∈ N. Here, we show that the graph Ge(G) is complete if and only if G is cyclic ; and Ge(G) is Eulerian if and only if |G| is odd. We characterize all abelian groups and all non-abelian p−groups G such that Ge(G) is dominatable. Besides, we show that there is a one-to-one correspondence between the maximal cliques in Ge(G) and the maximal cyclic subgroups of G.