19524

۱۹۵۲۴

ماتريس‌هاي عملياتي و كاربرد آن‌ها در حل برخي از مسائل مبتني بر معادلات انتگرالي

دكتري رياضي

رياضي كاربردي - آناليز عددي

۱۳۹۳

۱۳۹۷/۰۷/۲۱

دكتر خسرو مالك نژاد

دكتر مرتضي گرشاسبي

رياضي

در اين رساله حل عددي معادلات انتگرالͬ ولتراي غيرخطͬي نوع اول و دوم و نمونه هاي كاربردي آنها نظير معادلات لانگوين و ريكاتي در نظر گرفته شده است. با توجه به نقاط قوت ماتريس هاي عملياتͬي مبتنͬ بر پايه هاي متعامد، تكنييكي مستقيم و كارا براي حل اين معادلات ارائه مͬي گردد. ايده اصلͬي اين روش مبتنͬي بر ويژگͬي كاربردي از توابع چندجمله اي چبيشف است كه منجر به ساخت بردارهاي عملياتي مͬي شود. اين بردارهاي عملياتͬي نقش قابل توجهͬ در حذف روش هاي تصويري و افزايش دقت روش ايفا مͬي كنند. با توجه به ساختار تكه اي توابع جواب در طبيعت، توابع تركيبي با قدرت ديد محلͬي در تقريب و انعطاف پذيري در تغيير تعداد زيربازه ها و درجه چندجمله اي، به انتخابي مناسب براي محاسبه جواب تقريبي با دقت بالا مبدل شده است. تكنيكهاي متناسب با هر معادله و همگرايي متناظرشان به طور جامع مورد مطالعه قرار گرفته است. بطور مثال، در روند تقريب معادلات لانگوين ماتريسͬ متناظر با ماتريس عملياتͬي انتگرال كسري از مرتبه α بيان شده كه منجر به كاهش خطاي كلͬ مͬي گردد. در ادامه، سعͬي بر حل معادلات انتگرال ولترا‐همرشتاين نوع اول توسط روش ‐hpهم مكانͬي شده است. اين روش بدليل ديد محلͬي در روند تقريب توابع از نقطه نظر كاربردي و تئوري مشابه روش هاي مبتنͬي بر توابع تركيبي عمل مͬي كند، با اين تفاوت كه سازگاري اين روش در تعيين خطاي محلͬي و درجه دلخواه براي هر زيربازه محفوظ است. اين ادعا با مقايسه نتايج عددي اين دو روش و به كار گرفتن توابع پايه اي كمتر در روش hpمشخص مͬي گردد. از برجسته ترين مطالب اين رساله مͬي توان به اثبات وجود و يͺتايي جواب معادلات نوع اول در فضاي سوبولف و تحليل جامع خطاي روش اشاره نمود

1397/07/25

Operational matrices and their applications to solve some problems based on integral equations

10/17/2018 12:00:00 AM

In this thesis, the numerical solutions of the frst and second-kind nonlinear Volterra integral equations and their applicable models such as Langevin and Ricatti equations are considered. Regarding the advantages of the operational matrices, a direct and efcient technique is investigated to solve these equation. The main idea of the proposed approach is based on a useful property of Chebyshev polynomials that yields to construct new operational vectors. These vector play signifcant rule to eliminates the projection methods and also enhance the accuracy of the scheme. Due to the piecewise behavior of the solutions in nature, hybrid functions with their local view and their flexibility to change the number of subintervals and the polynomials’ degree make them as an appropriate choice to achieve an approximate solution with high accuracy. The constructive techniques correspond to each equation and the convergence analysis of the scheme are comprehensively studied. For instance, in the approximation procedure of the Langevin equations, a matrix correspond to the almost singular operational matrices of order α is expressed to reduce the total error. In addition, it is attempted to solve Volterra-Hammerstein integral equations of the frst kind using hp-collocation method. This approach has local view in the approximation procedure similar to hybrid functions, unlike that this scheme is adapted and free to indicate the local error and the degree of polynomials for each subinterval. This claim is verifed in comparison between the results and in applying less basis functions. Obtaining the existence and uniqueness of the solution under the reduced assumptions in Sobolev space and investigating the convergence analysis are the main concepts of this thesis.