19610

۱۹۶۱۰

روش هاي مبتني برتوابع بي اسپلاين براي حل معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزيي وابسته به زمان

كارشناسي ارشد

آناليز عددي

95-96

۱۳۹۷/۷/۲

دكترجليل رشيدنيا

دكترمرتضي گرشاسبي

رباضي

چكيده در اين پايان نامه به گردآوري وبررسي يك روش عددي براي حل معادله ديفرانسيل جزئي غيرخطي سهمي گون با شرايط مرزي از نوع نيومن مي پردازد. اين روش مبتني بر هم محلي اسپلاين مكعبي مي باشد. از اسپلاين مكعبي بعنوان پايه براي تقريب متغير مكاني و مشتقات آن استفاده مي شودو مسأله داده شده را به يك دستگاه از معادلات ديفرانسيلي مرتبه اول معمولي بر حسب زمان تبديل مي كند. دستگاه معادلات حاصله را با استفاده از روش نگهدارنده پايداري قوي رانگ-كوتاي مرتبه سه (SSP-RK3) حل مي شود. جواب هاي تقريبي عددي براي معادلات ديفرانسيلي جزئي سهمي غير خطي بدون تبديل معادله و بدون استفاده از خطي سازي محاسبه شده اند. چهار مثال براي اثبات اعتبار و قابل استفاده بودن اين تكنيك ارائه گرديده است. عملكرد اين روش را برروي مسائل آزمايش كرده و نتايج حاصله با محاسبه ميانگين خطاي L_∞ و L_2 براي ترازهاي مختلف زماني مختلف نشان داده شده است. نتايج نشان داده شده انطباق خوبي با جواب دقيق دارد. اين پايان نامه همچنين به بررسي يك الگوريتم جديد براي حل معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي سهموي خطي در فضاي دوبعدي مي پردازد. اين الگوريتم از هم محلي مرتبه چهارم بااسپلاين هاي درجه دوم بهينه شده براي گسسته سازي بعد مكان، و از قانون ذوزنقه اي اصلاح شده براي گسسته سازي بعد زمان استفاده مي نمايد. در هر تراز زماني نياز به حل يك سيستم بلوكي خطي سه قطري دارد و مرتبه دقت O(∆x^4+ ∆y^4+ ∆t^2) در نقاط شبكه اي مكان- زمان بدست مي آورد. پايداري الگوريتم جديد را بررسي نموده، و نمونه ي پيشرفته اي از پايداري را ارائه مي نمايد. علاوه براين يك روش براي افزايش سرعت را كه مبتني بر تصحيح تاخيري طيفي مي باشد، ارائه نموده و از لحاظ تئوري مي توان به مرتبه دقت O(∆x^4+ ∆y^4+ ∆t^(2(k+1))) ارتقاء داد كه در آن k تعداد حلقه ها ي(گره هاي) تصحيح مي باشد. همچنين پايداري اين الگوريتم هاي تسريع شده را مورد ارزيابي قرار مي دهد. آزمايش هاي عددي براي اثبات كارآيي اين الگوريتم جديد، ضميمه شده است. كليد واژه: هم محلي مرتبه چهارم با اسپلاين درجه دوم؛ كرانك نيكلسون؛ همگرايي؛ پايداري؛ تصحيح تاخيري مكاني

1397/08/06

The methods based on B-Spline for nonlinear time dependent partial differential

10/28/2018 12:00:00 AM

Abstract In this thesis, a numerical method is proposed to approximate the solution of the nonlinear parabolic partial differential equation with Neumann’s boundary conditions. The method is based on collocation of cubic B-splines over finite elements so that we have continuity of the dependent variable and its first two derivatives throughout the solution range. We apply cubic B-splines for spatial variable and its derivatives, which produce a system of first order ordinary differential equations. We solve this system by using SSP-RK3 scheme. The numerical approximate solutions to the nonlinear parabolic partial differential equations have been computed without transforming the equation and without using the linearization. Four illustrative examples are included to demonstrate the validity and applicability of the technique. In numerical test problems, the performance of this method is shown by computing L1 and L2 error norms for different time levels. Results shown by this method are found to be in good agreement with the known exact solutions.. also we review and further develop a class of strong stability-preserving (SSP) high-order time discretizations for semidiscrete method of lines approximations of partial differential equations.Previously termed TVD (total variation diminishing) time discretizations, these high-order time discretization methods preserve the strong stability properties of first-order Euler time stepping and have proved very useful, especially in solving hyperbolic partial differential equations.The new developments in this paper include the construction of optimal explicit SSP linear Runge–Kutta methods, their application to the strong stability of coercive approximations, a systematic study of explicit SSP multistep methods for nonlinear problems, and the study of the SSP property of implicit Runge–Kutta and multistep methodse . Keywords: Nonlinear parabolic partial differential equation Neumann boundary conditions Cubic B-splines basis functions SSP-RK3 scheme Thomas algorithm. strong stability preserving, Runge–Kutta methods, multistep methods, high-order accuracy, tim discretization