22896

حل عددي دسته‌هايي از معادلات انتگرال-ديفرانسيل مرتبه كسري با استفاده از توابع پايه‌اي و موجك‌ها

دكتري

رياضي كاربردي

1399

1399/9/12

دكتر خسرو مالك نژاد - دكتر جليل رشيدي نيا

دكتر تورج نيك آزاد

رياضي

در اين رساله، ابتدا ضمن معرفي تعدادي از چندجمله‌اي‌ها، توابع پايه‌اي و موجك‌ها نظير چندجمله‌اي‌هاي برنشتاين سه متغيره، چندجمله‌اي‌هاي ژاكوبي يك و دو متغيره، چندجمله‌اي‌هاي ژاكوبي مرتبه كسري يك و دو متغيره، توابع تركيبي بلاك-پالس يك و دو بعدي با چندجمله‌اي‌هاي لژاندر، موجك مونتز-لژاندر و موجك چبيشف نوع دوم، چگونگي تقريب توابع با استفاده از آن‌ها بيان مي‌شود. سپس با توجه به مزاياي استفاده از ماتريس‌هاي عملياتي مبتني بر توابع پايه‌اي متعامد، به معرفي و توليد ماتريس‌ها و بردارهاي عملياتي حاصلضرب، انتگرال و انتگرال مرتبه كسري مبتني بر چندجمله‌اي‌ها، توابع پايه‌اي و موجك‌هاي ذكر شده مي‌پردازيم. در ادامه، شرايط لازم و كافي براي وجود و يكتايي جواب محلي و سراسري معادلات انتگرال ولترا و فردهلم مرتبه كسري غيرخطي دو بعدي را با استفاده از قضاياي نقطه ثابت شودر و تيخونوف بيان مي‌كنيم. سپس حل عددي معادلات انتگرال ولترا و فردهلم مرتبه كسري غيرخطي دو بعدي، معادلات انتگرال-ديفرانسيل مرتبه كسري غيرخطي دو بعدي و فرم كلي معادلات ديفرانسيل كسري از مرتبه توزيع شده وابسته به زمان بر حسب اين ماتريس‌ها و بردارهاي عملياتي همراه با روش هم‌مكاني در نظر گرفته شده است. همچنين فرمولي را براي سري تيلور مرتبه كسري توابع دو و چند متغيره معرفي مي‌كنيم. علاوه بر اين به حل عددي معادلات انتگرال ولترا-فردهلم خطي سه بعدي نوع اول و دوم با استفاده از چندجمله‌اي‌هاي برنشتاين سه متغيره مي‌پردازيم. در هر مورد كران خطا و همگرايي روش مورد نظر بررسي شده‌اند. در انتهاي هر فصل، براي نشان دادن دقت و كارايي روش‌هاي مطرح شده مثال‌هاي عددي مرتبط ارائه شده و نتايج عددي با مراجع مختلف مورد مقايسه قرار گرفته‌اند.

1399/10/01

Numerical solutions of some classes of fractional integro-differential equations using basis functions and wavelets

12/2/2020 12:00:00 AM

In this thesis, first, we introduce some polynomials, basis functions, and wavelets, such as three-variable Bernstein polynomials, one- and two-variable Jacobi polynomials, one- and two-variable fractional Jacobi polynomials, hybrid of one- and two-dimensional block-pulse functions and Legendre polynomials, Müntz-Legendre wavelets, and the second kind Chebyshev wavelets. Also, we explain how to approximate functions by using them. Moreover, due to the advantages of using operational matrices based on orthogonal basis functions, we produce operational matrices and operational vectors of integration, fractional integration, and product based on the mentioned polynomials, basis functions, and wavelets. Next, we provide sufficient conditions for the local and global existence of solutions for two-dimensional nonlinear fractional Volterra and Fredholm integral equations, based on Schauder's and Tychonoff's fixed-point theorems. Then, we solve two-dimensional nonlinear fractional Volterra and Fredholm integral equations, two-dimensional nonlinear fractional integro-differential equations, distributed order fractional differential equations of the general form in the time domain using these operational matrices via collocation method. We also introduce formulas for the fractional Taylor series for two- and multi-variable functions. In addition, we solve three-dimensional Volterra-Fredholm integral equations of the first and second kinds using three-variable Bernstein polynomials. In each case, the error bound and convergence analysis of the proposed method are investigated. At the end of each chapter, numerical examples are given and compared with some other methods to show the accuracy and efficiency of the proposed methods.