25713

حل معادلات انتگرالي با كمك ماتريس هاي عملياتي مبتني بر توابع تكه اي چند جمله اي

دكتري

رياضي كاربردي

1400-1401

17/9/1400

دكتر خسرو مالك نژاد

دكتر جليل رشيدي نيا

رياضي

بسياري از مسائل مهم در زمينه علوم مهندسي و فيزيك منجر به معادلاتي مي شوند كه تابع مجهول زير علامت انتگرال ظاهر مي شود و به عنوان معادلات انتگرال شناخته مي شوند. حل تحليلي اين معادلات بسيار مشكل يا غير ممكن بوده، لذا به كار بردن روش عددي با دقت بالا و زمان محاسبات كم از اهميت ويژه اي برخوردار مي باشد. هدف رساله حاضر حل عددي دسته اي از معادلات انتگرال ولتراي غير خطي به روش ماتريس هاي عملياتي توابع تركيبي بلاك-پالس و چند جمله اي هاي لژاندر مي باشد. از مزاياي استفاده از توابع تركيبي بلاك-پالس و چند جمله اي هاي لژاند مي توان به دقت بالاي تقريب اشاره كرد. علاوه بر اين با توجه به اين كه اين توابع تركيبي در هر زير بازه از چند جمله اي هاي لژاندر براي تقريب تابع استفاده مي كنند، مي توان به كارايي و دقت بالاي روش توابع تركيبي در تقريب توابع ناپيوسته اشاره كرد. در فصل دوم از رساله ماتريس هاي عملياتي انتگرال و ماتريس عملياتي ضرب و بردار عملياتي ضرب توابع تركيبي دوبعدي بلاك-پالس و چند جمله اي هاي لژاندر معرفي مي شوند. جزئيات نحوه ساخت اين ماتريس ها در رساله شرح داده شده اند. در ساخت ماتريس عملياتي ضرب، از ويژگي تعامد توابع تركيبي بلاك-پالس و چند جمله اي هاي لژاندر بهره مي بريم. در ادامه، اين ماتريس هاي عملياتي را در حل عددي معادلات انتگرال ولتراي دوبعدي نوع دوم، معادلات انتگرال دوبعدي نوع اول و همچنين دستگاه معادلات انتگرال ولترا دوبعدي نوع دوم به كار مي بريم. همگرايي روش هاي عددي معرفي شده در هر فصل با كمك نامساوي هاي گرنوال اثبات شده اند و كراني از خطاي تقريب با كمك توابع تركيبي دو بعدي بلاك-پالس و چند جمله اي هاي لژاندر ارائه شده است. در پايان هر فصل چندين مثال عددي به منظور نشان دادن كارايي و دقت روش و مقايسه ي خطاي روش و زمان انجام محاسبات با ساير روش ها ارائه شده اند.

1400/09/24

Numerical solution of integral equations using the operational matrices based on piecewise polynomial functions

1/1/1900 12:00:00 AM

Many problems in the field of engineering and physics lead to equations in which the unknown function appears below the integral sign and is known as integral equations. Analytical solution of these equations is very difficult or impossible, so using a numerical method with high accuracy and low computation time is of particular importance. The aim of the present thesis is to numerically solve a set of nonlinear Volterra integral equations by the method of operational matrices of hybrid of block-pulse functions and Legendre polynomials. The advantages of using hybrid of block-pulse functions and Legendre polynomials are the high accuracy of the approximation. In addition, due to the fact that these hybrid functions use Legendre polynomials to approximate the function in each subinterval, we can point to the high efficiency and accuracy of the hybrid function method in approximating discontinuous functions. In the second chapter of the dissertation, operational matrices of integration and Product operational matrix and product operational vector for the two-dimensional hybrid of block-pulse functions and Legendre polynomials are introduced. Details on how to make these matrices are described in the dissertation. In constructing the product operational matrix, we use the orthogonal feature of hybrid of block-pulse functions and Legendre polynomials. In the following, we use these operational matrices in the numerical solution of the two-dimensional Volterra integral equations of the second kind and two-dimensional Volterra integral equations of the first kind, as well as the system of two-dimensional Volterra integral equations of the second kind. The convergence of the numerical methods introduced in each chapter is proved by using Gronwall type inequalities, and error bound is presented. At the end of each chapter, several numerical examples are provided to show the efficiency and accuracy of the method, and a comparison with other methods is presented.

معادلات انتگرال دوبعدي , توابع تركيبي دوبعدي بلاك-پالس و چند جمله اي هاي لژاندر , ماتريس عملياتي انتگرال , ماتريس عملياتي ضرب , بردار عملياتي ضرب

Two-dimensional integral equations , hybrid block-pulse functions and Legendre polynomials , operational matrices of integration , product operatonal matrix , product operational vector