30028

خوش وضعي ماتريس نرمي سازه هاي قابي به همراه تحليل حساسيت

كارشناسي ارشد

مهندسي عمران- سازه

1399

1402/7/3

علي كاوه

مهندسي عمران

در تحليل بهينه كامپيوتري سازه¬هاي اسكلتي، هدف آن است كه تحليل يك مسئله بگونه¬اي انجام پذيرد كه علاوه بر كاهش فضاي كامپيوتري اختصاص يافته و نيز كاهش زمان انجام محاسبات، خطاهاي محاسباتي نيز به كمترين حد ممكن برسد. اين امر، بهينه بودن تحليل، زماني محقق مي¬شود كه ماتريس¬هاي سازه¬اي تشكيل شده داراي 3 ويژگي زير باشند: 1) پر صفر 2) خوش ساختار 3) خوش وضع در اين پايان نامه، دامنه مطالعات ما پيرامون سومين ويژگي از ويژگي¬هاي ياد شده در بالا كه خوش وضعي ماتريس¬هاي سازه¬اي (در روش نرمي از تحليل سازه¬ها) مي¬باشد، تنظيم شده است. از اين رو به دنبال آن مي¬باشيم تا با ارائه الگوريتمي مناسب و با بكار بردن روشي گراف تئوريكي با استفاده از مفاهيم مرتبط با تئوري گراف¬ها، وضعيت ماتريس¬هاي ساز¬ه¬اي در روش نرمي از تحليل سازه¬ها را بهبود بخشيم. با بهبود وضعيت ماتريس¬هاي سازه¬اي، هنگام يافتن جواب معادلات به فرم Ax = b كه در هر دو روش نيروها و تغييرمكان¬ها صادق بوده و به منظور حل مسائل تحليل سازه¬ها نيازمند به يافتن جواب سيستم بزرگي از چنين معادلات جبري مي¬باشيم، جواب معادله ياد شده با ايجاد تغييرات جزئي در ماتريس A، تغيير قابل ملاحظه و چشمگيري نخواهد داشت و در اين شرايط مي¬توان به صحت جواب بدست آمده از معادله ياد شده اعتماد كرد. براي دستيابي به چنين هدفي در روش نيروها از تحليل سازه¬ها (تشكيل ماتريس نرمي)، بايستي پايه¬ سيكل-هايمان را بگونه¬اي انتخاب نماييم كه طول همپوشاني شده توسط سيكل¬ها كوچك باشد(تعداد المان¬هاي مشترك قرار گرفته در ناحيه همپوشاني سيكل¬ها كم باشد) و نيز از طرفي، وزن اعضاي قرارگرفته در ناحيه همپوشاني شده توسط سيكل¬ها بيشينه باشد. در اين حالت درايه¬هاي غيرقطري ماتريس موردنظر كوچك شده و درايه¬هاي قطري آن بزرگ و غالب خواهند بود. به چنين ماتريسي، ماتريس خوش وضع گفته مي-شود. با توجه به آنچه گفته شد در اين پايان نامه بدنبال آن مي¬باشيم تا با ارائه الگوريتمي مناسب، پايه سيكلي مناسبي را براي مدل گراف از سازه¬هاي قابي بدست كه اين پايه سيكلي با ارضاء همزمان دو تابع ياد شده، بهينه بودن ماتريس همسايگي سيكل¬ها و قرارگيري اعضاي با بيشترين وزن در نواحي همپوشاني سيكل¬ها، منجر به خوش وضعي ماتريس نرمي شود. پس از يافتن پايه سيكلي مدنظر، عدد وضعيت ماتريس نرمي را كه هم الگو با ماتريس CCt مي¬باشد با استفاده از سه روش متفاوت و به ازاي مقادير مختلف از ضريب α و براي توابع وزني مختلف محاسبه كرده و نتايج بدست آمده را مقايسه و بررسي مي¬نماييم. با توجه به نتايج بدست آمده از مثال¬هاي حل شده، مي¬توان به اين نتيجه گيري رسيد كه افزايش مقدار α كمكي به بهبود وضعيت خوش وضعي ماتريس¬هاي سازه¬اي در روش نرمي نمي¬كند زيرا كه افزايش α باعث مي¬شود كه اعضاي با وزن كمتر نيز به عنوان اعضاي قابل پذيرش در روش نرمي شناخته شوند. هر چند اين امر باعث مي¬شود تعداد المان¬هاي كمتري در ناحيه همپوشاني سيكل¬ها واقع شده و در نتيجه منجر به پر صفري ماتريس مربوطه مي¬شود. همچنين مشاهده مي¬شود كه استفاده از تابع وزني دوم در مقايسه با تابع وزني اول، مقادير كوچكتري از سختي را به ما مي¬دهد كه با توجه به الگوريتم بكاربرده شده، اين مقادير كوچكتر مي¬توانند منجر به قابل پذيرش شدن تعداد بيشتري از اعضاء شوند اما نمي¬توان از بهبود عدد وضعيت در اين حالت با قطعيت سخن گفت

1402/08/22

Well-Conditioning of Flexibility Matrices of Frame Structures, Followed by Sensitivity Analysis

9/24/2024 12:00:00 AM

Along with decreasing the size and duration of analysis, minimizing analytical errors is a critical factor in the optimal computer analysis of skeletal structures. In order to reach the above goals, structural matrices should have the following properties: • Sparse • Well-Conditioned • Well-Structured This study focuses on the well-conditioning of flexibility matrices of frame structures which causes the minimization of analytical errors when solving matrices of the form Ax = b. For having well-conditioned flexibility matrices, special cycle basis must be selected. In addition to having special cycle basis, members of highest weight must be included in the overlaps of cycles in the force method of structural analysis, leading to small off-diagonal and dominant diagonal entries and thus the well-conditioning of structural flexibility matrices. Here, since finding optimally-conditioned cycle basis seems to be an NP-Complete problem, we seek to find sub-optimally conditioned cycle basis of frame structures, leading us to well-conditioned flexibility matrices. Afterwards some sensitivity analysis is employed in order to see if taking higher values for α and using different weight functions can improve the conditioning of the flexibility matrix. Based on the examples studied, taking higher values for alpha don`t improve the conditioning of flexibility matrices since it causes the members of low weight to be counted as F-admissible members. However, this leads to the placement of fewer members in the overlaps of cycles which leads to the sparsity of the cycle adjacency matrix. Using second weight function compared to first weight function results in smaller weight values of the members, thus more members to be called F-admissible based on the method employed for finding the sub-optimally conditioned cycle basis. However, we can`t talk about the improvement of condition numbers with certainty.

خوش وضعي , روش نرمي , پايه سيكلي

Well-Conditioning , Flexibility Method , cycle basis

Amir Hossein Honarvar

Dr. Ali Kaveh