30095

نظريه‌هاي كوهمولوژي از ساختارهاي هندسي و جبري مبتني بر محاسبات كسري

دكتري

رياضي محض (گرايش هندسه)

1396

1402/08/03

دكتر اكبر دهقان‌نژاد

دكتر مهدي نجفي‌خواه

رياضي و علوم كامپيوتر

در اين پايان‌نامه، ما به مطالعه نظريه‌هاي كوهمولوژي مبتني بر محاسبات كسري مي‌پردازيم. يك ساختار جبرواره لي براي يك دسته از كلاف‌هاي برداري با رتبه‌ kروي يك خمينه هموار k بعدي W تعريف مي‌كنيم كه با كلاف‌ مماس TW يكريخت هستند. يك مثال هيجان‌انگيز از اين نوع كلاف‌هاي برداري مي‌سازيم. اين مثال بر پايه‌ عملگرهاي مشتقات كسري كاپوتو جزئي ساخته شده است. شرايط حل‌پذيري و حل‌ناپذيري براي معادلات كوهمولوژيكي كسري ψ^α f=g روي T^n بررسي شده‌اند. ماتريس‌هاي عملياتي از مشتق كسري ريمان-ليويل و ضرب براي پيدا كردن جواب‌هاي عددي از معادلات كوهمولوژيكي n بعدي كسري را ارائه مي‌دهيم. چندجمله‌اي‌هاي مونتز لژاندر كسري nبعدي (يا n-DFMLPها) را تعريف مي‌كنيم. اين ماتريس‌هاي عملياتي با بكارگيري n-DFMLPها ساخته مي‌شوند. وجود جواب براي معادلات كوهمولوژيكي كسري (يا FCEها) اثبات مي‌شود. آناليز همگرايي براي روش پيشنهادي بحث شده است. يك روش محاسباتي جديد براي محاسبه خمينه‌هاي ناوردا ارائه مي‌كنيم كه با جواب‌‌هاي تعادلي معادلات ديفرانسيل جزئي سهموي غيرخطي متناظر هستند. روش محاسباتي ما، آناليز تقارن لي را با روش پارامتري‌سازي تركيب مي‌كند. چارچوب خود را براي بررسي معادله فيشر و معادله ديفرانسيل رشد تومور مغز اعمال مي‌كنيم.

1402/08/29

Cohomology theories of geometric and algebraic structures based on fractional calculus

10/24/2024 12:00:00 AM

In this thesis, we delve into the study of cohomology theories based on fractional calculus. We define a Lie algebroid structure for a class of vector bundles of rank k over a k-dimensional smooth manifold W that are isomorphic to the tangent bundle TW. We construct an exciting example belonging to this class of vector bundles. This example is constructed based on partial Caputo fractional derivative operators. The solvability and unsolvability conditions for the fractional cohomological equation ψ^α f=g on T^n are investigated. We present operational matrices of the Riemann-Liouville fractional derivative and product to find the numerical solutions of the fractional n-dimensional cohomological equations . The n-dimensional fractional Mu ̈ntz-Legendre polynomials (or n-DFMLPs) are defined. These operational matrices are constructed by employing n-DFMLPs. The existence of a solution for fractional cohomological equations (or FCEs) is proven. The convergence analysis is discussed. We present a novel computational approach for computing invariant manifolds corresponding to equilibrium solutions of nonlinear parabolic partial differential equations. Our computational method combines Lie symmetry analysis with the parameterization method. We apply our framework to investigate the Fisher equation and the brain tumor growth differential equation.

كلاف‌هاي برداري , جبرواره‌هاي لي , كوهمولوژي از جبرواره‌هاي لي , معادلات كوهمولوژيكي از مرتبه كسري , محاسبات كسري , ماتريس عملياتي , آناليز تقارني لي , روش پارامتري‌سازي , خمينه‌هاي ناوردا

: Vector bundles , , Lie algebroids, Cohomology of Lie algebroids , Cohomologcal equations of fractional order , Fractional caculus , , Operational matrix , , Lie symmetry analysis , Parameterization method , invariant manifolds

Mina Moghaddam Zeabadi

Dr. Akbar Dehghan Nezhad