12357

12357

مفهوم مشخصه هاي تعميم يافته براي معادلات سيالي

كارشناسي ارشد

فيزيك - اتمي و مولكولي

آبان ماه 1392

آبان ماه 1392

دكتر همايون اشراقي

چكيده دستگاه معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي در يك بعد به شكل زير: (1) دستگاه قوانين پايستگي هذلولوي ناميده مي شود هرگاه ،كه گراديان نسبت به است، ويژه مقدار حقيقي و ويژه بردار داشته باشد.مسئله ي كوشي يافتن جواب (1)، ، در زمان است بطوريكه داده شده است. روش مشخصه ها منحني هايي را در فضا مشخص مي كند كه روي آنها دستگاه (1) به دسته اي از معادلات ديفرانسيل معمولي تبديل مي شود كه با حل آنها مي توان به جواب دستگاه (1) رسيد.اين منحني ها انتگرال منحني هاي ( ) هستند كه مشخصه ناميده مي شوند، بطوريكه روي آنها ثابت است.اگر دستگاه (1) خطي باشد مشخصه ها خطوط مستقيم با شيب ثابت هستند. اگر دستگاه (1) شبه خطي باشد مشخصه ها تابعي از هستند،در نتيجه شيب آنها متغير است و ممكن است كه همديگر را قطع كنند.چون روي هر مشخصه مقداري ثابت و متفاوت دارد در نقطه ي تقاطع مشخصه ها چند مقداره مي شود.نقطه ي تقاطع مشخصه ها توسط يك منحني كه موج ضربه ناميده ميشود و از نقاط تقاطع مشخصه ها عبور مي كند از دامنه ي حذف مي شوند.اين مجموعه نقاط ناپيوستگي مانند يك جبهه موج ناپيوستگي در دامنه ي با سرعت (شيب منحني ) منتشر مي شود و در گذر از اين منحني، ناپيوسته و در نتيجه مشتق ناپذير است.وجود امواج ضربه از ويژگيهاي دستگاه هاي هذلولوي است.بنابراين اين دسته از دستگاهها به مفهوم كلاسيكي جواب ندارند ؛ جوابي كه بار( مرتبه ي بالاترين مشتق در معادله ي ديفرانسيل است) بطور پيوسته مشتق پذير باشد.در نتيجه مفهوم جواب تعميم يافته يا ضعيف مطرح مي شود كه به مفهوم ضعيف مشتق پذير است و به مفهوم نظريه ي توزيع ها در (1) صدق مي كند. اگر مقدار حدي در چپ و مقدار حدي در راست موج ضربه با سرعت باشد رابطه ي زير كه شرط پرش "رنكين-هوگونيوت "نام دارد برقرار است: (2) جواب هاي ضعيف يكتا نيستند.در مسائل فيزيكي شرط فيزيكي جواب قابل قبول را مشخص مي كند.در نبود شرط فيزيكي شرايط ديگري مانند شرط آنتروپي جواب قابل قبول را مشخص ميكند. فضاي تابعي براي جواب هاي ضعيف فضاي سوبولف و در يك بعد فضاي توابع با تغييرات كراندار است.فضاي سوبولف فضاي توابعي است كه مشتق آنها به مفهوم ضعيف تا يك مرتبه ي خاص عضو فضاي است. در دامنه ي توابع با تغييرات كراندار مجموعه نقاط ناپيوستگي پرشي تقريبي وجود دارد،در نتيجه در دامنه ي اين توابع موج ضربه بطور طبيعي وجود دارد. مفهوم مشخصه ها براي جواب هاي كلاسيكي به چهار چوب جواب هاي ضعيف تعميم داده مي شود.مشخصه هاي تعميم يافته براي تجزيه و تحليل ساختار، مقبوليت وبررسي رفتار جوابهاي ضعيف در زمانهاي بزرگ بكار ميروند.مشخصه هاي تعميم يافته مربوط به جواب ضعيف انتگرال منحني هاي طبق تعريف فيليپوف هستند.مشخصه هاي تعميم يافته هم با سرعت مشخصه هاي كلاسيكي و هم با سرعت امواج ضربه منتشرميشوند.مشخصه هاي عقبگرد اكسترمال ،كه از هر نقطه در دامنه ي جواب ضعيف قابل قبول منتشر مي شوند ، هميشه با سرعت مشخصه كلاسيكي منتشر ميشوند. دستگاه قوانين معادلات پايستگي و تعادل از مهمترين دستگاههاي معادلات در فيزيك هستند كه در زمينه هايي مانند فيزيك سيالات،الكترو مغناطيس و گرانش ظاهر مي شوند.با توجه به اينكه اين دسته از دستگاه ها فقط جواب ضعيف دارند بنابراين يافتن اين جواب ها و بررسي ويژگي هاي آنها از اهميت زيادي برخوردار است. واژه‌هاي كليدي : جواب كلاسيكي،جواب ضعيف، قانون پايستگي، مشخصه هاي كلاسيكي، مشخصه هاي تعميم يافته