16909

16909

كاربرد روش هاي بدون شبكه مبتني بر توابع پايه اي شعاعي در مدل هاي مالي

دكتري

رياضي كاربردي - آناليز عددي

خرداد 1395

دكتر احمد گلبابايي (شايگان منش)

دكتر تورج نيك آزاد

رياضي

در اين رساله با استفاده از روش هم محلي مبتني بر توابع پايه اي شعاعي،ͬكه در واقع در رده روش هاي بدون شبكه قرار مي گيرد، به تقريب جواب برخي معادلات ديفرانسيلي برآمده از اختيارات معامله كه از انواع مشتقات مالي است پرداخته ايم. با حل معادلات مذكور به وسيله روش سراسري هم محلي، متوجه نقش مهم پارامتر شكل در كيفيت تقريبات شديم. لذا با بررسي دقيق تر نقش اين پارامتر، دو استراتژي جديد در تعيين اين پارامتر معرفي كرده ايم اما همچنان بدحالت ماتريس هاي ضرايب ناشي از گسسته سازي تاثير منفي بر كيفيت تقريبات مي گذاشت. اين بدحالتي ناشي از سراسري بودن روش و بالطبع پر بودن اين ماتريس ها است. پس با پياده سازي ي روش محلي موسوم به روش تفاضلات متناه مبتني بر توابع پايه اي شعاعي، سعي كرديم اين بدحالتي را برطرف كنيم. اگرچه اين روش با ايجاد ماتريس هاي تنك، عدد حالت آن ها را پايين مي آورد و بر كيفيت تقريب اثر مثبت مي گذارد اما برعكس روش سراسري، كدنويسي و پياده سازي آن بسيار مشكل است و با پيچيدگي هايي همراه است كه دقت بيشتري را مي طلبد. با مشاهده كارايي مناسب روش محلي شده در تقريب معادلات اختيار معامله و همچنين توانايي آن در ابعاد بالا، برآن شديم تا اين روش را به حالت هاي چند بعدي تعميم دهيم. به همين منظور، اختيارات معامله را در ابعاد بالا با نقاط گسسته سازي متساوي الفاصله و پراكنده با روش مذكور مورد بررسي قرار داديم كه به نتايج خوبي منتهي شد، به طوري كه تقريب هايي مطلوب از مقادير اختيار معامله حاصل شد. همچنين، روش ارائه شده داراي پايداري و هزينه محاسباتي پايين است.

1395/12/17

1/1/1900 12:00:00 AM

In this thesis, we consider application of meshless methods based on radial basis functions for approximating financial models especially option pricing models based on Black-Scholes model. Solving the Black-Scholes model using global collocation method clear the role of shape parameter in quality of approximation. Then we consider some strategies to select the shape parameter which leads to introduce two more effective new variable strategies. Dense matrices an​d ill-conditioned systems related to global collocation method motiveted us to emply a local scheme for remove this difficulty. Therefore, we employ the finite difference idea to localize dense matrices. Efficiency of local method to solve one dimensional Black-Scholes equation convince us to use it to approximate the solution of Black-Scholes equation in high dimensions which results in accurate an​d stable solutions. Moreover, an efficiency iterative method named conjugate gradient stablized method for solving sparse systems produced by local RBF-FD scheme are employed which results in low cost.