يك مساله بسيار متداول در رياضيات، مساله شدني محدب مي‌باشد كه كاربردهاي بسياري در حوزه مختلف علوم نظير تصويربرداري پزشكي و پرتو درماني(پرتونگاري)، ميكروسكوپ الكتروني، پردازش سيگنال، مينيمم‌سازي توابع محدب غير هموار و ... دارد. يك روش متداول براي حل اين مساله، استفاده از اپراتورهاي الگوريتمي تكراري مي‌باشد. اين روش‌هاي تكراري داراي ساختارهاي الگوريتمي متفاوتي نظير روش‌هاي تماماً دنباله‌اي (يا همزمان) و يك ساختار كلي‌تر، كه بر اساس ميانگين رشته‌ها مي‌باشد، مي باشند. ساختار اصلي مورد استفاده ما در اين رساله بر اساس الگوريتم ميانگين ‌رشته‌ها مي‌باشد كه اين الگوريتم در عمل براي محاسبات موازي مناسب مي‌باشد و درنتيجه قادر است مسائلي با اندازه بسيار بزرگ را حل كند.‎ اين رساله بر روي استفاده از اپراتورهاي الگوريتمي غيرخطي در حل مساله شدني محدب و كاربرد آن‌ها در تصويربرداري پزشكي متمركز مي‌شود. در ابتدا خانواده‌هاي مختلف اپراتوري در فضاي هيلبرت را معرفي مي‌كنيم. اين خانواده‌ها شامل اپراتورهاي تصويرمتعامد، تصوير زيرگراديان، برشي تخفيف‌يافته و شبه‌نامبسوط اكيد مي‌باشند. براي يك زيرخانواده از اپراتورهاي شبه‌نامبسوط اكيد، ويژگي شبه‌انقباضي را با يك ويژگي ضعيفتر كه GPP ناميده مي‌شود جايگزين مي‌كنيم كه نيازي به شرط پيوسته بودن اپراتورها ندارد. همگرايي دنباله توليد شده بر اساس ميانگين رشته‌هاي ساخته شده از اعضاي خانواده با ويژگي ‎GPP‎ به نقطه ثابت خود همگراست. علاوه براين، براي اولين بار، تاثير استفاده از وزن‌هاي بهينه بجاي استفاده از پارامترهاي تخفيف بهينه مورد بررسي قرار گرفته است. در ادامه، يك تابع طول گام براي سرعت‌دهي به فرايند نقطه ثابت الگوريتم ميانگين رشته‌هاي اپراتورهاي برشي تخفيف يافته اكيد معرفي مي‌كنيم و نشان مي‌دهيم اين فرايند به جواب همگراست. همچنين تابع طول گام و همگرايي را براي خانواده اپراتورهاي شبه‌نامبسوط اكيد بدست مي‌آوريم. در پايان، روش‌هاي بازسازي غيرساكن تكراري تصوير شده همزمان كه روش‌هاي متداولي در حوزه بازسازي تصاوير پزشكي م‌باشند را مورد بررسي قرار مي‌دهيم و با استفاده از اپراتورهاي الگوريتمي، همگرايي آن‌ها را اثبات مي‌كنيم. همچنين، فرايند موجود در دستگاه‌هاي سي تي اسكن را بصورت يك دستگاه معادلات خطي شدني مدل‌سازي كرده و وزن‌هاي آماري تقطيع شده را براي افزايش سرعت همگرايي پيشنهاد مي‌كنيم.

1396/02/06

1/1/1900 12:00:00 AM

‎A very common problem in mathematics is convex feasibilty problem which is used in different areas of sciences such as‎: ‎medical imaging an​d radiation therapy treatment planning (computerized tomography)‎, ‎Electron microscopy‎, ‎Signal processing‎, ‎Minimization of non smooth an​d convex functions‎. ‎A common solution approach‎ ‎to such problems is using iterative algorithmic operators‎. ‎These iterative methods have different algorithmic structures as full o​r block sequential (simultaneous) methods an​d a more general construction which is based on string averaging‎. ‎Our main‎ ‎algorithmic scheme is based on the string-averaging which is particularly suitable for parallel computing an​d therefore has the ability to handle huge-size problems. ‎This thesis focuses on the use of nonlinear algorithmic operators in convex feasibility problems an​d on their applications to medical imaging‎. ‎We describe various extensions of the notion of operators in a Hilbert space‎. ‎These include projections, ‎subgradient projections‎, ‎relaxec cutter operators an​d strictly quasi-nonexpansive operators. ‎First of all‎, ‎for a subfamily of strictly quasi-nonexpansive operators‎, ‎we replace the paracontraction property with a weaker property called GPP which does not require continuity of the operators‎. ‎We show that the sequence generated by a fixed-point iteration method based on a finite pool of operators in this subfamily, ‎converges to a feasible point‎. ‎Furthermore, ‎we discuss about influence of using optimal weights instead of optimal relaxation parameters which were not considered before. ‎This contribution unifies several existing results on the convergence of iterative methods in Hilbert spaces. ‎In the following, ‎we introduce a step size function to accelerate a fixed point process which is constructed based on string averaging of strictly relaxed cutter operators an​d show it converges to the solution. ‎We reproduce mentioned results for class of strictly quasi-Nonexpansive operators. ‎We study Projected non-stationary Simultaneous Iterative Reconstruction Techniques which are common techniques in the field of medical image reconstruction an​d give their convergence result. ‎At the end‎, ‎we model CT-scanners process as a consistent linear system of equations. ‎We use clipped statistical weights to reduce Lipschitz constant an​d compare different block iterative algorithms for solving this linear system.