در اين رساله ابتدا يك نتيجۀ وجودي براي معادلات انتگرالي مرتبۀ دوّم خطي و غيرخطي فردهولم با استفاده از قضيۀ نقطه ثابت ادلشتين اثبات مي‌كنيم و سپس حل‌پذيري معادلۀ انتگرالي مرتبۀ دوّم فردهولم را با استفاده از يك قضيۀ نقطه ثابت تحت شرايط مناسب كه براي نگاشت‌هاي به طور يكنواخت ليپ‌شيتز اثبات كرده‌ايم، بررسي مي‌كنيم. همچنين، با تكنيك اندازۀ نافشردگي تعميمي از قضيۀ نقطه ثابت داربو ارئه كرده و با استفاده از آن يك قضيۀ epsilon- نقطه ثابت در فضاهاي باناخ و همچنين، تعميمي از قضيۀ نقطه ثابت داربو-سادوفسكي در فضاهاي به طور يكنواخت محدب ارائه مي‌دهيم. ‎‎‏ما همچنين معادلات بيضوي به صورت ( L u = lambda f ( x‎ , ‎u در يك ناحيۀ كران‌دار با مرز هموار در R^N را در نظر مي‌گيريم كه در آن L ‎ يك عملگر مشتق به طور يكنواخت بيضوي و f يك تابع با شرايط مناسب است. رفتار مجانبي جواب‌هاي اين معادله را مورد بحث و بررسي قرار داده و كران‌هاي بالايي و پاييني بهينه براي پارامتر انتهايي اين معادله بدست مي‌آوريم و نتايج بدست آمده را در مسأله انفجار در يك شار بكار مي‌گيريم. همچنين، حالت خاصي از اين معادله، يعني معادلۀ (‎‎ - ‎Delta u = lambda f ( x‎ , ‎uرا در نظر گرفته و يك كران پاييني براي جواب‌هاي بالايي اين معادله بدست مي‌آوريم و چند كران بالايي و پاييني بهينه براي پارامتر انتهايي اين معادله ارائه مي‌دهيم كه نتايج قبلي بدست آمده را به طور قابل ملاحظه‌اي اصلاح مي‌كند. در انتها، معادلات بيضوي غيرخطي به صورت ‎Delta _ { p } u = lambda rho ( x ) f ( u )‎- را در نظر مي‌گيريم كه در آن Delta _ p عملگر p- لاپلاسين است. يك كران پاييني براي جواب‌هاي بالايي اين معادله و كران‌هاي بالايي و پاييني بهينه براي پارامتر انتهايي اين معادلات بدست مي‌آوريم و نتايج بدست آمده را براي پيدا كردن يك كران پاييني براي اوّلين مقدار ويژۀ عملگر p- لاپلاسين بكار مي‌گيريم.

1396/03/16

1/1/1900 12:00:00 AM

In this thesis‎, ‎we first apply Edelstein fixed point theorem to prove the existence of solutions for the linear and nonlinear Fredholm integral equations of the second kind and then we give some suitable conditions under which uniformly Lipschitzian mappings have a fixed point‎. ‎We investigate the solvability of Fredholm integral equations of second kind by the obtained results‎. ‎Also‎, ‎we present a generalization of Darbo's fixed point theorem and using it we prove an epsilon- fixed point result‎. ‎Furthermore‎, ‎we present a generalization of Darbo and Sadovski'i fixed point theorem in uniformly convex Banach spaces‎. ‎ ‎We also consider the nonlinear eigenvalue problem L u = lambda f ( x‎ , ‎u ) , ‎posed in a smooth bounded domain Omega subseteq R with Dirichlet boundary condition‎, ‎where L is a uniformly elliptic second-order linear differential operator‎, ‎and f is a suitable function‎. ‎We present some upper and lower bounds for the extremal parameter and extremal solution and apply the results to the explosion problem in a flow‎. ‎Furthermore‎, ‎we consider the special case‎, ‎i.e.‎, ‎the problem - ‎Delta u = lambda f ( x‎ , ‎u ) and give pointwise lower bounds for the super-solutions under some appropriate conditions of f , ‎and apply them to find upper and lower bounds for the extremal parameter and the extremal solution that improve and extend several results in the literature‎. ‎Finally‎, ‎we derive a priori bounds for positive super-solutions of problem - ‎Delta-p = lambda rho ( x ) f ( u ) , ‎where p > 1 and Delta-p is the p-Laplacian operator and give sharp upper and lower bounds for the extremal parameter‎. ‎As a by-product of our results‎, ‎we obtain a lower bound for the principal eigenvalue of the p-Laplacian‎.