17732

17732

الگوريتم لندوبر در حل مسايل شدني خطي و كاربرد آن در بازسازي تصوير

دكتري

رياضي كاربردي

بهمن 1395

دكتر تورج نيك آزاد

دكتر احمد گلبابايي

رياضي

پيدا كردن يͷ نقطه در اشتراك تعدادي مجموعه محدب، يͷ مسئله پركاربرد و مشترك بين بخش هاي مختلف رياضيات و علوم فيزيͺr است. اين مسئله تحت عنوان مسئله شدنr محدب كه ما آن را به اختصار CFP مr ناميم شناخته مr شود. مسئله شدنr محدب تاريخچه اي طولانr و غنr در رياضيات كاربردي دارد كه حداقل به قرن نوزدهم برمr گردد. كاربردهاي اين موضوع در رياضيات و علوم فيزيͺr شامل حوزه هاي وسيعr است، از جمله: تصويربرداري پزشͺr و پرتو درمانr(پرتونگاري)، ميͺروسͺوپ الͺترونr، پردازش سيͽنال، مينيمم سازي توابع محدب غير هموار و ... . هرگاه مجموعه هاي محدب به صورت معادلات يا نامعادلات خطr باشند مسئله بوجود آمده را يͷ مسئله شدنr خطr (LFP) مr نامند. دستگاه هاي بدوضع معادلات خطr كه معمولا هنگام گسسته سازي انواع خاصr از تبديلات انتگرالr بوجود مr آيند يͺr از نمونه هاي بارز مسائل شدنr خطr به حساب مr آيند. مسئله بازسازي تصوير يͷ نمونه ي شناخته شده مr باشد كه مr تواند با به كارگيري تبديل رادون به صورت يͷ مسئله شدنr خطr مدل بندي شود. از آنجايي كه دستگاه هاي معادلات خطr بوجود آمده، به طور معمول بزرگ، تنك و بدوضع مr باشند، لذا بͺارگيري روش هاي تكراري (به جاي روش هاي مستقيم ) براي حل اين دستگاه ها امري اجتناب ناپذير است. در اين رساله ما به بررسr يͷ روش عمومr تكراري بلوكr مبتنr بر الͽوريتم لندوبر خواهيم پرداخت كه بسياري از الͽوريتم هاي تكراري شناخته شده از قبيل T AR ، AV C ، AV C I B و M I C حالت هاي خاصr از آن مr باشند. هنگام به كارگيري روش هاي تكراري بلوكr مبتنr بر الͽوريتم لندوبر، براي حل يͷ دستگاه بدوضع از معادلات خطr، در ابتدا معمولا خطا كاهش مr يابد اما پس از چند تكرار، بسته به مقدار اختلال موجود در داده ها و ميزان بدوضعr دستگاه، خطا شروع به افزايش مr كند. اين پديده شبه همͽرايي ناميده مr شود. در اين رساله ما به بررسr رفتار شبه همͽرايي براي اين روش ها پرداخته و يͷ كران بالا براي خطاي داده (خطاي اختلال ) بدست مr آوريم. براساس اين كران، راه هاي جديدي براي تعيين پارامترهاي آزاد به منظور كنترل شبه همͽرايي پيشنهاد داده، سپس كارآمدي راه كارهاي پيشنهادي را به وسيله مثال هايي كه از پرتونگاري پزشͺr آمده اند تاييد مr كنيم. در فصل اول پس از شرح مسئله، برخr تعاريف و قضاياي مقدماتr مورد نياز را خواهيم آورد. در فصل دوم مروري اجمالr به برخr از روش هاي تكراري كه در حل مسئله شدنr خطr به كار مr روند خواهيم داشت. در فصل سوم آناليز دقيقr از رفتار شبه همͽرايي در روش هاي تكراري بلوكr را انجام داده و راه كارهايي براي كنترل اين پديده پيشنهاد خواهيم كرد. درفصل چهارم ما يͷ حالت تعميم يافته از روش هاي تكراري بلوكr را ارائه خواهيم كرد كه علاوه بر پوشش روش هاي تكراري موجود، به ما امͺان استفاده از روش هاي تكراري جديد با قابليت هاي بيشتري را نيز خواهد داد. در فصل پنجم يͷ خانواده از روش هاي تكراري بلوكr مبتنr بر افرازبندي ستونr ماتريس ضرايب، براي حل دستگاه معادلات خطr در نظر گرفته و به آناليز همͽرايي آن مr پردازيم. در اين خانواده پارامترهاي تخفيف و ماتريس هاي وزن مr توانند بعد از هر تكرار به روزرسانr شوند. به علاوه ما اجازه داريم بعد از هر چرخه (دور) نحوه بلوك بندي را نيز تغيير دهيم. واژگان كليدي: الͽوريتم لندوبر، روش هاي تكراري بلوكr، شبه همͽرايي، بازسازي تصوير

1396/06/15

1/1/1900 12:00:00 AM

A common problem in diverse areas of mathematics and physical sciences is trying to find a point in the intersection of convex sets. This problem is referred to as the convex feasibility problem (CFP). CFP has a long and rich history in mathematics from 19th century. This problem has diverse applications in mathematics and modern physical sciences such as: Medical imaging and radiation therapy treatment planning(computerized tomography), Electron microscopy, Signal processing, Minimization of convex non smooth functions and etc. When the convex sets are the linear equations or inequalities, the obtained problem is called a linear feasibility problem (LFP). Ill-posed sets of linear equations typically arise when discretizing certain types of integral transforms. The image reconstruction problem is a well known example, which can be modeled as a linear feasibility problem by using the Radon transform. Since the obtained linear systems of equations are typically large, sparse and ill-posed, it calls for the use of iterative methods (against direct methods) for solving these systems. In this thesis, we study a general block iterative scheme based on Landweber algorithm so that some widely iterative methods such as the ART, CAV, BICAV and CIM are special examples of it. When applying the block iterative methods based on Landweber algorithm for solving an ill-posed set of linear equations the error usually initially decreases but after some iterations, depending on the amount of noise in the data, and the degree of ill-posedness, it starts to increase. This phenomenon is called semi-convergence. In this thesis, we study the semi-convergence behavior of these methods and obtain an upper bound for data error (noise error). Based on this bound, we propose new ways to specify the relaxation parameters to control the semi-convergence. The performance of our strategies is shown by examples taken from tomographic imaging. In the first chapter, after the explanation of problem, we give some of the basic definitions and theorems that will be required. In chapter 2, we do short overview of the some of iterative methods used for solving the linear feasibility problems. In chapter 3, we do a careful analysis of the semiconvergence behavior of the block iterative methods and propose the new techniques to control this phenomenon. In chapter 4, we present an extended form of the block iterative methods which covers the existing block iterative methds. Furthermore it allows us posibility of using more iterative methods. In chapter 5, we consider a family of the block iterative methods based on column-partitioning of coefficient matrix for solving linear system of equations and analyze its convergence. In this family, relaxation parameters and weight matrices can be updated in each iteration. Furthermore, we are allowed to change the blocks-column-partitioning in each cycle. Keywords: The Landweber algorithm, Block iterative methods, Semi convergence, Image reconstruction