در اين تحقيق طبقه‌بندي جبرهاي لي نيمه‌سادهٔ مختلط و حقيقي را بررسي مي‌كنيم. در فصل يكم به ارائه مفاهيمي از جبرخطي مي‌پردازيم. در فصل دوم نمايش الحاقي و فرم كيلينگ را تعريف كرده و بر اساس آن به تشريح محك‌هاي كارتان درمورد نيمه‌ساده و حل‌پذير بودن يك جبر لي مي‌پردازيم . ‎ در فصل سوم حالت مختلط را تشريح مي‌كنيم. زيرجبرهاي كارتان از يك جبر لي نيمه‌سادهٔ مختلط را معرفي مي‌كنيم. با استفاده از اين زيرجبرها سيستم‌هاي ريشه را بدست مي‌آوريم. مي‌بينيم كه طبقه‌بندي سيستم‌هاي بنيادي ريشه، طبقه‌بندي جبر‌هاي لي ساده را نتيجه مي‌دهد. با اثبات اينكه سيستم‌هاي ريشهٔ ايزومورف، جبرهاي لي ايزومورفي ارائه مي‌دهند و همچنين با درنظر داشتن وجود زيرجبر كارتان براي هر جبرلي دلخواه، به طبقه‌بندي مورد نظر دست‌ خواهيم يافت. ‎ در فصل چهارم به حالت حقيقي مي‌پردازيم. از فرم‌هاي حقيقي جبرهاي لي نيمه‌سادهٔ مختلط آغاز مي‌كنيم. با معرفي فرم‌هاي فشرده و ايزومورف بودن آن‌ها، مي‌بينيم كه هر فرم ديگري را مي‌توان توسط يك اتومورفيسم از فرم حقيقي فشرده بدست آورد. در نتيجه با طبقه‌بندي اتومورفيسم‌ها به طبقه‌بندي دلخواه دست پيدا خواهيم كرد.

1396/07/22

1/1/1900 12:00:00 AM

‎In this research we will study the classification of complex and real semi simple Lie algebra‎. ‎In the first chapter we will represent some concepts of linear algebra‎. ‎In the second chapter we'll make a definition of additional representation and Killing form‎ , ‎then based on that we'll explain Cartan criterion on being semi simple and solvable Lie algebra‎. ‎In the third chapter the complex case will be explained‎. ‎We'll introduce Cartan Sub-algebras of a complex semi-simple Lie algebra‎. ‎Using these sub-algebras we can get to root systems‎. ‎We'll also see that the result classifying root fundamental systems results a classification for simple Lie algebras‎. ‎Proving that isomorphic root systems represent isomorphic Lie algebras‎, ‎and also considering the fact that for any Lie algebra there exist a Cartan sub-algebra‎, ‎we'll get t our desired classification‎. ‎In the fourth chapter real case will be studied‎. ‎We'll begin with‎ ‎real forms of complex semi-simple Lie algebras‎. ‎By introducing compact forms and their isomorphic‎, ‎we see that any other form can be concluded by an automorphism from the real compact form‎. ‎As a result‎, ‎by classifying automorphisms the ideal classification can be achieved‎.