18624

۱۸۶۲۴

روش طيفي هم‌محلي چبيشف گويا در حل برخي مسائل جريان سكون

دكتري

رياضي كاربردي - آناليز عددي

اسفند ۱۳۹۶

دكتر احمد گلبابايي (شايگان منش)

دكتر تورج نيك آزاد

رياضي

معادلات حركت براي يك سيال تحت عنوان معادلات ناوير-استوكس شناخته مي‌شوند. به‌طور كلي يافتن حل‌هاي دقيق معادلات ناوير-استوكس داراي پيچيدگي‌هاي رياضي بسياري است. اين امر ناشي از غيرخطي بودن اين معادلات مي‌باشد. معادلات ناوير-استوكس با توجه به اعمال شرايط فيزيكي متفاوت بر مسأله و كاربردهاي مختلف آن، دسته وسيعي از مسائل را در بر مي‌گيرند. يك دسته مهم از اين مسائل، مسائل موسوم به جريان نقطه سكون مي‌باشد. بررسي و مطالعه جريان سكون به‌دليل كاربردهاي فراوان آن در صنايع مختلف، از ساليان گذشته همواره مورد توجه پژوهشگران و محققين بوده است. در اين رساله، يك روش طيفي دقيق و كارا تحت عنوان روش هم‌محلي مبتني بر چندجمله‌اي‌هاي چبيشف گويا براي تحليل مسائل جريان سكون توسعه داده شده است. در اين تحقيق، تكنيك به‌كارگيري از اين روش در تحليل دو دسته مهم از مسائل جريان سكون شامل جريان سكون روي صفحه تخت با بازه نيمه‌متناهي [0,∞) و جريان سكون روي استوانه با بازه نيمه‌متناهي [1,∞) نشان داده شده است. معادلات ناوير-استوكس حاكم بر جريان سكون با تعريف متغيرهاي تشابهي مناسب به يك مسأله مقدار مرزي در بازه نيمه‌متناهي با معادله ديفرانسيل معمولي غيرخطي مرتبه 3، تبديل شده و اين معادله ديفرانسيل غيرخطي با روش هم‌محلي چبيشف گويا مورد تحليل قرار گرفته است. اين روش، حل معادله ديفرانسيل غيرخطي را به حل يك دستگاه معادلات جبري تبديل مي‌كند. همچنين استفاده از اين روش براي حل مسائل مقدار مرزي روي بازه‌هاي نامتناهي يا نيمه‌متناهي، به‌طور مؤثر و كارايي مشكلات موجود در روش‌هاي عددي ديگر از جمله برش دامنه يا وابستگي جواب‌ها به مقدار حدس اوليه را از بين برده و جواب‌هايي بسيار خوبي ارائه مي‌كند. مقايسه بين جواب‌هاي عددي به‌دست آمده توسط مراجع مختلف و جواب رونگ-كوتاي مرتبه ۴ و همچنين جواب‌هاي روش حاضر براي دو مسأله جريان سكون ارائه شده، نشان مي‌دهد كه جواب‌هاي حاصل از روش هم‌محلي چبيشف گويا انطباق خوبي با جواب‌هاي به‌دست آمده از ساير روش‌ها دارد. اين نشان‌دهنده اعتبار روش حاضر براي مسائل مقدار مرزي با بازه نيمه‌متناهي مي‌باشد. همچنين در اين رساله با ارائه تعاريفي براي همگرايي سري‌هاي طيفي، همگرايي نمايي سري‌هاي طيفي به‌كار رفته در دو مسأله حاضر نشان داده شده است.

1396/12/26

3/17/2018 12:00:00 AM

The motion equations for a fluid are known as the Navier-Stokes equations. In general, the problem of finding exact solutions of the Navier-Stokes equations presents insurmountable mathematical difficulties. This is primarily due to the fact that these equations are nonlinear. The Navier-Stokes equations cover a wide variety of problems, depending on the use of different physical conditions and their various applications. An important category of these problems is named as the stagnation point flow. The stagnation flow has been studied during past decades because of technical importance in many industrial applications. In this thesis, an efficient and precise spectral method known as the rational Chebyshev collocation (RCC) approach has been developed to solve the stagnation flow problems. In this research, the technique of using this method has been shown in the analysis of two important categories of stagnation flow problems, including stagnation flow on a flat plate with a semi-infinite interval [0, ∞], and a stagnation flow on a cylinder with a semi-infinite domain [1, ∞]. The Navier-Stokes equations which govern the stagnation flow, are changed to a boundary value problem with a semi-infinite domain and a third-order nonlinear ordinary differential equation by applying proper similarity transformations and this nonlinear differential equation has been analyzed using the rational Chebyshev collocation method. This approach would reduce the nonlinear ordinary differential equation solution to the solution of a system of algebraic equations. Using this method to solve boundary value problems on infinite or semi-infinite intervals, effectively and efficiently eliminates the defects in other numerical methods, such as truncating the domain or dependence of the results on the value of the initial guess, and provides very good results. The comparison between the numerical results provided by other references, the fourth-order Runge-Kutta and approximated by this study for two categories of the stagnation flow problems, indicates that the results of the RCC approach are in good agreement with other methods. This shows the validity of the current method for boundary value problems. Also, in this thesis, by presenting the definitions for spectral series convergence, the exponential convergence of the spectral series used in the two present problems has been shown.