در‎ اين پايان نامه‏، مسئله سوپر رزولوشن دوبعدي ‏را بررسي خواهيم كرد. سيگنال مورد ‎‏نظر جمع ‎ ‎‎‎r‎‎‎‏‎منبع نقطه اي با مكان و اندازه مجهول است. هدف اصلي بازيابي اين منابع از نمونه هاي فركانس پايين آن مي باشد. اين مسئله دغدغه اصلي بسياري از كاربردها مثل تصوير برداري الكترونيكي‏، اپتيك‏، ميكروسكوپ و تخمين طيف خطي است. فرض كنيد كه منابع نقطه اي به طور يكنواخت در ‎‎[0,1]^2‎‎‏‎ پخش شده باشند و همچنين نمونه هاي فركانس پايين محدود به [-f_c,f_c]^2 تنها اطلاعات در دسترس از سيگنال باشد. در فصل سوم نشان خواهيم داد تا زماني كه اين منابع 1.68/f_c از همديگر فاصله داشته باشند‏، مينيمم كردن نورم تغييرات كلي TV جواب يكتا خواهد داشت. در فصل چهارم يك روش براي بازيابي منابع فركانسي پيوسته در مسئله تخمين طيف خطي دو بعدي ارائه خواهيم داد. در بيشتر كارهاي انجام شده در اين حوزه تنك بودن طيف سيگنال تنها اطلاعات قبلي است كه از آن استفاده مي شود. اين در حالي است كه در بسياري از كاربردها مانند رادار و تخمين كانال تنك‏ اطلاعات پيشين در مورد مكان منابع در اختيار است. راه معمول براي وارد كردن اطلاعات پيشين در مسئله تخمين طيف خطي‏، استفاده از نورم اتمي وزني شده است. با استفاده از تئوري چند جمله اي هاي مثبت مثلثاتي يك برنامه ريزي مثبت نيمه معين معرفي خواهيم كرد كه اين اطلاعات را وارد مسئله تخمين طيف خطي مي كند. شبيه سازي ها نشان مي دهد كه تخمينگر پيشنهادي در معيار حداقل مربع خطا و احتمال بازيابي نسبت به روش هاي گذشته بهتر عمل مي كند.

1397/02/18

5/8/2018 12:00:00 AM

‎‎In this Thesis, we address the problem of recovering point sources from two dimensional low-pass measurements, which is known as super-resolution problem. This is the fundamental concern of many applications such as electronic imaging, optics, microscopy, and line spectral estimation. We assume that the point sources are located in the square [0,1]^2 with unknown locations and complex amplitudes. The only available information is low-pass Fourier measurements band-limited to integer square [-f_c,f_c]2. The signal is estimated by minimizing Total Variation (mathrm{TV}) norm, which leads to a convex optimization problem. It is shown that if the sources are separated by at least 1.68/f_c, there exists a dual certificate that is sufficient for exact recovery. ‏‎ In ‎the ‎second ‎work, we provide a method to recover off-the-grid frequencies of a signal in two-dimensional (2-D) line spectral estimation. Most of the literature in this field focuses on the case in which the only information is spectral sparsity in a continuous domain and does not consider prior information. However, in many applications such as radar and channel estimation, one has some additional information. The common way of accommodating prior information is to use weighted atomic norm minimization. We present a new semidefinite program using the theory of positive trigonometric polynomials that incorporate this prior information into 2-D line spectral estimation. Specifically, we assume prior knowledge of 2-D frequency subbands in which signal frequency components are located. Our approach improves the recovery performance compared with regular atomic norm minimization and 2-D MUSIC that do not consider prior information.‎