19081

۱۹۰۸۱

حل عددي معادلات ديفرانسيل تصادفي، برآورد پارامترها و كاربردها

دكتري

رياضي كاربردي - آمار

۱۳۹۱-۱۳۹۶

۱۳۹۶/۸/۲۴

دكتر رحمان فرنوش

دكتر غلامحسين ياري

رياضي

با توجه به كاربرد روز افزون معادلات ديفرانسيل تصادفي در مدل كردن بسياري از پديده‌ها در رياضيات مالي و بيمه، فيزيك، شيمي، مهندسي، بيولوژي و ... اين رشته توجه بسياري از پژوهشگران را به خود جلب كرده است. در اين رساله حل عددي معادلات ديفرانسيل تصادفي و ارتباط آن با معادلات ديفرانسيل جزئي مورد بررسي قرار گرفته است. با توجه به اينكه كار بر روي حل اين معادلات با استفاده از روش بسط و معرفي پايه براي جواب‌هاي اين معادلات بسيار محدود بوده و موفقيت چنداني به دليل ماهيت تصادفي جواب اين معادلات به دست نيامده است، در اين رساله سعي بر ارائه پايه‌اي متعامد جهت حل دسته‌اي از اين معادلات شديم و در اين راستا از چندجمله‌اي‌هاي هرميت دومتغيره بهره‌گرفته‌ايم. در ادامه به برآورد پارامتر اين معادلات بر اساس حل معادله فوكر پلانك و روش درستنمايي ماكسيمم پرداخته‌ايم. سپس با توجه به كاربرد اين معادلات در رياضيات مالي، به تشريح مدل سازي قيمت سهام و قيمت گذاري قرارداد اختيار پرداخته‌ايم. سپس تحت چهارچوب مدل بلك-شولز بر مبناي روش‌هاي تصوير، روشي عددي با دقت بالا و سرعت زياد جهت قيمت گذاري قراردادهاي اختيار مانع گسسته اروپايي ارائه شده است. همچنين در ادامه مساله قيمت گذاري قرارداد اختيار مانع اروپايي با بازبيني‌هاي گسسته و داراي پارامتر‌هاي زمان وابسته بررسي شده و راه حل عددي جهت حل اين معادلات ارائه شده است. درنهايت كارايي و دقت روش حاصل در مقايسه با ساير روش‌هاي عددي و تحليلي در اين زمينه مورد بررسي قرار گرفته است.

1397/04/30

Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Parameter Estimation, and Applications

7/21/2018 12:00:00 AM

Due to the increasing use of stochastic differential equations in modeling of many phenomena in financial mathematics, insurance, physics, chemistry, engineering, biology, etc., this field has attracted the attention of many researchers. In this thesis, numerical solution of stochastic differential equations and its relation with partial differential equations are investigated. Given that not much work has been done on solving these equations by the method of expansion and the introduction of the basis for the solutions of these equations and there is little success due to the stochastic nature of the solution of these equations, this thesis attempts to present an orthogonal basis to solve a bunch of these equations, we use two-dimensional Hermite polynomials in this regard. Also, we estimate the parameters of these equations based on the Fokker-Planck equation and Maximum Likelihood Method. Then, with regard to the application of these equations in financial mathematics, we outline modeling stock prices and pricing contracts. Subsequently, under the Black-Scholes model, based on projection methods, a fast and high accurate numerical method for pricing of the discrete European option is presented. In addition, the problem of pricing of discrete European Options with time dependent parameters and a numerical solution has been proposed to solve these equations. Finally, the accuracy and efficiency of the resulting method are compared with some other numerical and analytical methods in this field.