در اين رساله‏، ‏به‎ بررسي روشهاي پايدار براي ارزيابي توابع پايه اي شعاعي مي پردازيم. توابع پايه اي شعاعي ابزار قدرتمندي براي تقريب جواب مسائل چندبعدي هستند كه داراي مرتبه همگرايي نمايي هستند. بهترين دقت موقعي بدست مي آيد كه پارامتر شكل توابع پايه اي كوچك باشد كه اين امر سبب مي شود ماتريس درونياب به شدت بدوضع شود. براي غلبه بر اين مشكل‏، نياز به روشهاي پايدار در ارزيابي توابع پايه اي شعاعي محرز است. در اين رساله يك روش پايدار براي ارزيابي تابع پايه اي شعاعي گاوسي بر اساس بسط تابع ويژه ارائه شده است. ما روش ارائه شده را در فضاهاي يك بعدي و دوبعدي ارائه نموده و گسترش آنرا براي فضاهاي بالاتر مورد توجه قرار داده ايم. با استفاده از تعامد توابع ويژه فرمول هاي صريحي براي درونيابي يك بعدي و دو بعدي ارائه كرده ايم. از ويژگي هاي روش ارائه شده مي توان به دقت بالا‏، پياده سازي آسان‏، هزينه محاسباتي پايين براي مسائل چند بعدي اشاره نمود. روش فوق را براي درونيابي يك بعدي و دوبعدي مورد بحث قرار داده ايم. همچنين در مورد حل معادلات ديفرانسيل جزئي يك بعدي و دو بعدي با روش فوق و بر اساس روش هم محلي بحث نموده ايم. روش را به طور كامل براي حل معادله پواسون و هلمهولتز و معادله همرفت-نفوذ-واكنش وابسته به زمان گسترش داده ايم. در حل معادله همرفت-نفوذ-واكنش وابسته به زمان ابتدا فضاي مكاني را با روش پايدار مبتني بر تابع پايه اي شعاعي گاوسي تقريب زده و به يك دستگاه معادله ديفرانسيل معمولي ماتريسي نسبت به زمان تبديل كرديم كه دستگاه حاصله را با روشهاي استاندارد حل معادلات ديفرانسيل معمولي حل نموديم. در حالت خطي‏، اين دستگاه به يك دستگاه سيلوستر تبديل مي شود و در حالت غير خطي با روش هاي پيشگو-اصلاحگر همچون آدامز-بشفورث قابل حل است. دقت‏ و كارايي محاسباتي روش با مثالهاي متنوعي در فصل پاياني رساله مورد آزمايش قرار گرفته است.

1397/07/30

Satbility improving of radial basis function methods for solving differential equations

1/21/2018 12:00:00 AM

This thesis studies on stable methods for evaluating ‎‎Radial basis functions (RBFs). RBFs are a powerful tool for approximating the solution of high-dimensional problems‎. ‎They are often referred to as a meshfree method and can be spectrally accurate‎. ‎The best accuracy can often be achieved when the so-called shape parameter of the basis functions is small‎, ‎which in turn tends to make the interpolation matrix increasingly ill-conditioned‎. ‎To overcome such instability in the numerical method‎, ‎which arises from even the most stable problems‎, ‎one needs to stabilize the method‎. ‎In this thesis, we present a new stable method for evaluating Gaussian radial basis function interpolants based on the eigenfunction expansion for Gaussian RBFs‎. ‎We develop our approach in one and two-dimensional spaces‎, ‎with the extension to higher dimensions proceeding analogously‎. ‎In the univariate setting, the orthogonality of the eigenfunctions and our special collocation locations give rise to easily computable cardinal basis functions‎. ‎High accuracy‎, ‎simple implementation and low complexity for high-dimensional problems are the advantages of our approach‎. ‎Also, ‎we investigate the numerical solution of two-dimensional time-dependent convection-diffusion-reaction equations with nonhomogeneous boundary conditions‎. ‎We first approximate the equation in space by a stable Gaussian RBF method and obtain a matrix system of ODEs‎. ‎The advantage of our method is that‎, ‎by avoiding Kronecker products‎, ‎this system can be solved by using one of the standard methods for ODEs‎. ‎For the linear case‎, ‎we show that the matrix system of ODEs becomes a Sylvester-type equation‎, ‎and for the nonlinear case, we solve it by some predictor-corrector schemes like Adams-Bashforth and implicit explicit (IMEX) methods‎. ‎The accuracy‎, ‎robustness and computational efficiency of the method are tested by numerically solving several interpolations and boundary value problems in one and two dimensions ‎like Poisson equation, Helmholtz equation, and time-dependent convection-diffusion-reaction equations‎.