21569

21569

روشهاي عددي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي براي حل برخي معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي

دكتري تخصصي

رياضي كاربردي - آناليز عددي

1398/10/10

دكتر جليل رشيدي نيا

دكتر مرتضي گرشاسبي

رياضي

در اين رساله، به مطالعه و بررسي روشهاي تفاضلات متناهي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي براي حل معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي پرداخته شده است. توابع پايه‌اي شعاعي ابزار توانمندي براي محاسبه جوابهاي تقريبي در ابعاد بالا و نواحي هندسي متنوع بوده و داراي مرتبه همگرايي نمايي بالقوه و مستقل از شبكه بندي مي‌باشند. اما ماتريس سيستم متناظر با آنها با افزايش تعداد نقاط درونيابي، بزرگ، چگال و بدوضع مي‌شود. همچنين با كاهش پارامتر شكل ϵ در توابع پايه‌اي شعاعي دقت افزايش مي‌يابد ولي ماتريس سيستم متناظر به شدت بدوضع مي‌شود و از مرحله‌اي به بعد مانع دست يابي به دقت بيشتر مي‌شود. براي غلبه بر اين قبيل مشكلات، نياز به روشهاي موضعي و پايدار در توابع پايه‌اي شعاعي مشهود است. در اين رساله ما توجه مان را روي روش تفاضلات متناهي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي RBF-FD منعطف نموده ايم. يك روش پايدار سراسري براي توابع پايه‌اي شعاعي گاوسي بر اساس بسط چندجمله ايهاي تواني، چندجمله ايهاي چبي شف و توابع مثلثاتي و استفاده از تجزيه QR موسوم به روش RBF-QR، ارائه شده است. ما فرم موضعي اين روش،يعني تفاضلات متناهي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي گاوس پايدار، موسوم به روش RBF-QR-FD را براي حل معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي گسترش داده ايم. روش موضعي تفاضلات متناهي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي RBF-FD)) و روش سراسري توابع پايه‌اي شعاعي (GRBF) را به طور كامل براي حل عددي معادله كارتوج ديوايرس برگر تعميم يافته شرح داده ايم و همچنين روش موضعي تفاضلات متناهي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي پايدار گاوسي (RBF-QR-FD) براي حل عددي معادله سينوس هايپربوليك-گوردون شرح داده شده است. هر دو معادله وابسته به زمان مي‌باشند كه در حل آنها ما مشتقات زماني را با استفاده از روش ضمني ‐θوزني و تفاضلات متناهي كلاسيك تقريب زده ايم و سپس مشتقات مكاني، از روشهاي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي محاسبه شده است. نهايتا، يك دستگاه معادلات خطي بزرگ، تنك و خوش وضع توليد مي‌شود كه با حل آن مي‌توانيم جواب تقريبي معادلات مذكور را در ترازهاي زماني مختلف بدست آوريم. دقت و كارايي محاسباتي اين روش ها با مثالهاي متنوعي مورد بررسي و آزمون قرار گرفته است.

1398/10/28

Numerical methods based on radial basis functions for solving some partial differential equations

12/31/2019 12:00:00 AM

In this thesis, the radial basis functions based on the finite difference (RBF-FD) method for solving the partial differential equations have been studied. Radial basis functions (RBFs) are a powerful tool for approximating the solution of high-dimensional problems. They are often referred to as a meshfree method and can be spectrally accurate. The best accuracy can often be achieved when the so-called shape parameter of the basis functions is small, which in turn tends to make the interpolation matrix increasingly ill-conditioned and prevents greater accuracy. To overcome such difficulty, the global stable computation with Gaussian RBFs (RBF-QR) method was introduced for a limited number of nodes. When the number of nodes in the flat RBF regime is increased more than thousands, the global RBF-QR method cannot be used. It is necessary to develop local methods. Therefore the local RBF and local RBF-QR generated finite difference methods (RBF-FD and RBF-QR-FD) based on local stencils can be used and they have sparse systems. The main aim of this thesis is to develop the two meshless collocation method (RBF-FD) and RBF-QR-FD methods to solve the non-linear generalized Korteweg-de Vries-Burgers (GKdVB) and the (1+2)-dimensional nonlinear sinh-Gordon (ShG) equation, respectively. Furthermore, the stability analysis of the above-mentioned methods is proven. The efficiency and accuracy of the presented approaches are tested by various examples in various geometrical regions. Also, a comparison between our results and some existing methods are shown.