22517

روش گرما برداري

كارشناسي ارشد

رياضي محض - هندسه ديفرانسيل

1399/4/31

دكتر مهدي نجفي خواه

دكتر اكبر دهقان نژاد

رياضي

هدف از اين پايان نامه توصيف روشr موثر براي محاسبه ي انتقال موازي بردارهاي مماس بر سطوح منحنr، يا به طور كلr هر داده برداري‐مقدار بر منيفلدي مفروض مr باشد. به بيان دقيق تر، يͷ ميدان برداري مفروض تعريف شده بر بخشr از يͷ ناحيه مفروض را با استفاده از انتقال موازي آن در امتداد كوتاه ترين ژئودزيها به بقيه دامنه توسيع مr دهيم. اين عمليات اساسr، موجب ظهور الͽوريتمهاي قوي و سريعr را براي برون يابي سرعت هاي مجموعه تراز، وارون نگاشت نمايي، محاسبه ميانه هندسr و ميانگين كارچر‐فرشه براي توزيعهاي دلخواه، ايجاد دياگرام هاي ۇرونويي سانترودال، و يافتن نشانه هاي مرتب شده، مr گردد. نشان مr دهيم كه به جاي ارزيابي انتقال موازي با رديابي صريح ژئودزيها، آنها را با استفاده از جريان گرمايي كوتاه مدت شامل التصاق لاپلاسين مr توان محاسبه نمود. در نتيجه، انتقال مذكور را با حل سه دستگاه خطr از پيش تعريف شده، كه هر كدام شبيه به يͷ مساله پواسون استاندارد هستند، مr توان بدست آورد. براي اجراي اين روش تنها به يͷ التصاق گسسته لاپلاسين نياز داريم، كه آنرا براي انواع ساختارهاي داده اي هندسr (نظير ابرهاي نقطه اي، مش هاي چند ضلعr، و غيره) توصيف مr كنيم. همچنين، رفتار عددي روشمان را مورد مطالعه قرار داده و به طور تجربي نشان مr دهيم كه نسبت به اصلاح همͽرا مr شود، و به گونه اي ساختار مثلثهاي ذاتr دلانوي (iDT (را تقويت مr كنيم كه آنرا در زمينه پردازش ميدان برداري مماس بتوان استفاده نمود.

1399/09/04

The Vector Heat Method

7/21/2020 12:00:00 AM

This paper describes a method for efficiently computing parallel transport of tangent vectors on curved surfaces, or more generally, any vector-valued data on a curved manifold. More precisely, it extends a vector field defined over any region to the rest of the domain via parallel transport along shortest geodesics. This basic operation enables fast, robust algorithms for extrapolating level set velocities, inverting the exponential map, computing geometric medians and Karcher/Fréchet means of arbitrary distributions, constructing centroidal Voronoi diagrams, and finding consistently ordered landmarks. Rather than evaluate parallel transport by explicitly tracing geodesics, we show that it can be computed via a short-time heat flow involving the connection Laplacian. As a result, transport can be achieved by solving three prefactored linear systems, each akin to a standard Poisson problem. To implement the method we need only a discrete connection Laplacian, which we describe for a variety of geometric data structures (point clouds, polygon meshes, etc.). We also study the numerical behavior of our method, showing empirically that it converges under refinement, and augment the construction of intrinsic Delaunay triangulations (iDT) so that they can be used in the context of tangent vector field processing.