23592

كاربرد روش توابع پايه اي شعاعي در حل معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي از مرتبه كسري وابسته به زمان

دكتري

رياضي كاربردي

95

99/09/05

احمدگلبابايي-تورج نيك آزاد

سيده محبوبه مولوي عربشاهي

رياضي

حافظه‌دار و غيرموضعي بودن مشتق‌هاي مرتبه غيرصحيح به همراه پشتوانه‌هاي تحليلي و كاربردي مناسب، معادلات ديفرانسيل كسري را به ابزاري مناسب براي مدل‌بندي موفقيت‌آميز برخي پديده‌هاي فيزيكي، واقعي و عملي در مقابل معادلات ديفرانسيل كلاسيك مبدل نموده است. لذا اخيرا توجه شايان به فراهم نمودن روش‌‌هاي مناسب براي حل عددي اين معادلات شده است. در اين رساله، روش هم‌محلي توابع پايه‌اي شعاعي را براي حل عددي معادلات ديفرنسيل كسري وابسته به زمان شامل معادله كسري بلك-شولز، معادله فركتالي متحرك-غير متحرك و معادله كسري غير خطي واكنش-زير نفوذ شـرح مـي‌دهـيم. در رويكرد ياد شده، براي حل معادلات وابسته به زمان، ابتدا از يك روش تفاضل متنـاهي بـراي گسسـته سازي بعد زمان استفاده مي‌كنيم، سپس با استفاده از توابع پايه‌اي شعاعي در بعد مكان جواب عددي مسئله را تقريب مي‌زنيم. با توجه به اين‌كه بدحالتي ماتريس‌هاي ضرايب بدست آمده به دليل ناشي از سراسري بودن روش و بالطبع، پر بودن اين ماتريس‌ها تاثير منفي بر كيفيت جواب تقريبي مي‌گذارد، با پياده‌سازي يك روش محلي موسوم به روش تفاضلات متناهي مبتني بر توابع پايه‌اي شعاعي با نام اختصاري ،LRBF-FD به برطرف كردن بدحالتي ماتريس‌ها خواهيم پرداخت كه با ايجاد ماتريس‌هاي تنك، عدد حالت آن‌ها را پايين مي‌آورد و منجر به اثر مثبت بر كيفيت تقريب مي‌شود. در اين روش مشتق تابع مجهول بطور مستقيم و با استفاده از تركيب خطي مقادير تابع در نقاط گره‌اي تقريب زده مي شود. تعيين ضرايب در تركيب خطي يك گام اساسي محسوب مي‌شود. توزيع گره ها در دامنه در دو ساختار يكنواخت و غيريكنواخت انجام مي گيرد. همچنين همگرايي، پايداري و آناليز خطاي روش مورد بررسي قرار گرفته و با استفاده از مثال‌ها و نتايج عددي، سادگي، دقت و كارايي روش به‌صورت تجربي نشان داده شده است.

1400/02/28

Application of Radial basis function for the numerical solution of the time fractional differential equations

11/26/2021 12:00:00 AM

The memory effect and non-local properties of the non-integer order derivative with the appropriate analytical supporting, lead to the fractional differential equation convert to excellent instrument for modelling the physical and real phenomena. Recently obtaining theoretical and numerical methods for solving these equations has become the focus of interest. This thesis develops a meshless method based on the finite difference schemes derived from the local radial basis function (LRBF-FD) that is used for finding the approximate solution of the time fractional differential equations including the fractional Black-Scholes, the fractal mobile-immobile and the fractional nonlinear reaction-diffusion models. This method discretizes the unknown solution in two main steps. First, the temporal discretization of the governing problems is obtained by means of the finite difference scheme. Second, the spatial terms are expanded using local radial basis functions, where each basis function is approximated by a weighted linear summation of function values. The theoretical discussion validates the convergence and stability of the time-discretized formulation which are analyzed in the perspective to the H1-norm. The LRBF-FD takes advantage of a local collocation method to approximate differential operators using a weighted sum of the function values over local collection nodes through the RBF expansion. Indeed, the LRBF-FD is based on the local support domain that leads to a sparsity system and also avoids the ill-conditioning problem caused by global collocation method. Some test problems investigate the computational efficiency of the approach. The numerical results confirm that the presented method provides accurate solutions on complex domains with any type of distribution nodes

معادلات ديفرانسيل مرتبه كسري , روش توابع پايه اي شعاعي , همگرايي , پايداري , تفاضلات متناهي

Time fractional differential equations , RBF , Finite difference , Stability , Convergence