26157

گسسته سازي فرم ها و حساب خارجي و كاربرد آن در مدلسازي محاسباتي

كارشناسي ارشد

رياضي- رياضي محض ـ هندسه (توپولوژي)

1396

1399/8/20

اكبر دهقان نژاد

مهدي نجفي خواه

رياضي

اين پايانامه بر اساس منبع 17سعي دارد باتوجه به ضرورت محاسبات از حالت پيوسته (هندسه ديفرانسيل پيوسته) به حالت گسسته، بستري مناسب را براي اهداف مدلسازي محاسباتي بر پايه ي هندسه، فراهم نمايد. اما همانطور كه مي دانيم فضاهاي مجرد هندسي، در عمل و اجرا قابل توصيف نمي باشند. به همين خاطر قصد داريم به معرفي برخي مفاهيم و روش ها براي دستيابي به حل اين مسئله بپردازيم. در راستاي اين هدف، حسايان خارجي گسسته طرحي را با حفظ ساختار و ويژگي هاي مهم فضاهاي پيوسته، معرفي مي كند. با استفاده از اين مفهوم و ابزارهاي مورد نياز، ابتدا يا ساختن همتاي گسسته ي منيفلد پيوسته، دامنه را به يك شبكه مثلث بندي شده تبديل مي كنيم. همچنين با معرفي مفهوم دوگان آن در مراحل بعد به گسسته سازي مفاهيمي از قبيل فرم ها و عملگرهاي روي آن ها خواهيم پرداخت به طوريكه فرم هاي ديفرانسيلي مذكور به عنوان مقاديري روي شبكه مثلث بندي شده در نظر گرفته مي شوند. در ادامه و براي دستيابي به هدف اصلي، دو مفهوم ضرب گوه اي و ستاره هاج، در فضاي گسسته مورد برزسي قراز خواهند گرفت. در آخر نيز با معرفي همتاي گسسته تجريه هاج، چشم اندازي به هدف اصلي خواهيم داشت. جالب است بدانيد كه مفهوم گسسته تجزيه هاج براي محاسبات در زمينه هاي مختلف كاربردهاي فراواني دارد. اما علي رغم پيشرفت هاي گسترده ي اخير، چنين رويكردي به محاسبات هنوز نوپا است. در نتيجه جزييات قابل بررسي زيادي وجود دارد كه مي بايست به وسيله آن ها نشان دهيم، اين مفهوم از فرم ها به عنوان پايه اي از اجزا قابل گسسته سازي معادلات ديفرانسيلي، در زمينه هاي بسياري كاربرد دارند

1400/12/16

Digitization of forms and exterior calculus and their applications in computational modeling

11/11/2021 12:00:00 AM

Considering the necessity of implementation and computation from continuous structure (continuous differential geometry) to discrete structure, based on the data presented in reference [17], this thesis is trying to lay a foundation to come up with geometry-based computational modeling purposes. However, as we know, abstract geometric spaces could not be described practically. Therefore, this thesis intends to introduce concepts and methods to solve this problem. So, Discrete Exterior Calculus (DEC) introduce a scheme preserving significant structures and properties of continuous spaces. Using this method and required devises, first we transform the domain into triangulation meshes by creating the replication of discrete continuous manifold. Furthermore, by introducing their duality in the next phases, we are going to examine the discretization of forms and their operators which lead these differential forms to be considered as volumes on triangulated meshes. To work toward the main goal, concepts of wedge product and Hodge star will be examined in the discrete space. Finally, introducing the replication of hodge decomposition discrete will lead us to get a glimpse at the main goal. It should be noted that the idea of discrete hodge decomposition for computational purposes, could be applicable in various domains. Despite of the recent significant and extensive developments, this approach to computations is still fairly new. As a result, there are a significant amount of details to examine in order to show the idea of forms as a basis of discretizational elements of differential equations can be used for various purposes.

فاطمه كرمي كلمتي

اكبر دهقان نژاد