28761

ساختار هندسي و راه حل هاي دقيق معادلات فوكر پلانك

دكتري تخصصي (PhD)

رياضي- رياضي محض ـ هندسه

1399

1402/6/29

مهدي نجفي خواه

دانشكده رياضي

در پايان‌نامه حاضر، نحوه اعمال تكنيك‌هاي تقارن كلاسيك و غيركلاسيك را در معادلات خطي فوكر-پلانك مرتبه دوم (FPEs) به شكل ut = -[f'(x)u+f (x)ux نشان مي‌دهيم. ]+ 1 2 گرم (t)uxx. اين شامل تعيين تقارن هاي كلاسيك و غير كلاسيك و سپس استفاده از تقارن هاي كلاسيك براي ساده سازي و حل معادله حاكم است. تعيين سيستم بهينه زير جبرهاي تقارن دروغ. پيشنهاد مسائل ارزش اوليه عمومي (IVP) كه مي‌توانند با كمك تقارن‌هاي دروغ حل شوند (حتي آنهايي كه شرايط اوليه (ICs) دارند كه تحت تقارن‌ها ثابت نمي‌مانند)، و نشان دادن نحوه اعمال تقارن براي يافتن راه‌حل‌هاي قابل تفكيك عملكردي. طبق تحليل غيركلاسيك ما: اولاً، رابطه بين توابع دلخواه در معادله حاكم و بينهايت كوچكها را ايجاد كنيد. سپس بر اساس پيوند، سيستم تعيين معادلات تقارن غيركلاسيك بسط مي‌يابد. تقارن كاملا غير كلاسيك جديد (NCLS) معادله فوكر-پلانك (FPE) در سه حالت اصلي نتيجه مي‌شود كه با كمك به كاهش سيستم جبر رايانه‌اي تعيين مي‌شود. علاوه بر اين، ما با استفاده از تقارن براي حل مسائل ارزش اوليه (IVPs) مورد بررسي قرار داديم. به طور كلي، اعتقاد بر اين است كه شرط ارائه شده از فرم u(x, 0) = F (x) نيازمند اين است كه تحت گروه تبديل تك پارامتري Lie كه معادله ديفرانسيل جزئي (PDE) را ثابت مي‌گذارد، ثابت بماند تا تبديل شود. قادر به حل IVP ها مطابق با اين روش، آي سي هاي عمومي كه مي توانند توسط FPE حاكم ما حل شوند، با استفاده از تقارن هاي كشف شده ساخته شدند. روش از طريق تعدادي مثال توضيح داده شده است. ما بيشتر نتيجه اصلي مقاله [1] را گسترش داديم، و اجازه داديم كه كلي ترين شكل يك IC مرتبه اول توسط يك تقارن كلاسيك خاص (CLS)، با مطالعه كار روي تقارن ها و IC ها مجاز باشد. با توجه به نتايج به‌دست‌آمده در مطالعه، ژنراتور ملزم به حفظ عدم تغيير شرايط اوليه بود. اين پايان نامه يافته هاي خود را به موقعيتي گسترش مي دهد كه IC مرتبه اول نيازي به چپ ناپذير بودن ندارد و امكان حل تعداد زيادي از IVP را با استفاده از تقارن ها فراهم مي كند. در نتيجه، نمونه‌هايي را با تقارن‌هاي كلاسيك (CLS) ارائه كرديم و نتيجه را بر روي FPE حاكم با آي‌سي‌هاي مرتبه اول تنظيم كرديم. علاوه بر اين، بر اساس شكل شرايط سطح ثابت (ISC)، ما نشان داده‌ايم كه چگونه از تقارن كلاسيك VII FPE براي يافتن راه‌حل‌هاي قابل تفكيك عملكردي در انواع مختلف استفاده كنيم. به طور خلاصه، ما در اين پايان نامه نشان داده ايم كه چگونه رويكردهاي تقارن كلاسيك مي توانند در مكان يابي راه حل هاي FPE، سيستم هاي بهينه و IVP مفيد باشند. علاوه بر اين، ما نشان داده‌ايم كه راه‌حل‌هاي قابل تفكيك عملكردي را مي‌توان در اشكال مختلف با استفاده از تقارن‌هاي كلاسيك FPEs يافت.

1402/07/09

Geometric Structure and Exact Solutions of Fokker-Planck Equations

9/19/2024 12:00:00 AM

In the present thesis, we show how to apply both classical and nonclassical symmetry tech- niques to second-order linear Fokker-Planck equations (FPEs) of the form ut = −[f ′(x)u+f (x)ux]+ 1 2 g(t)uxx. This consists of determining the classical and nonclassical symmetries and then using the classical symmetries to simplify and resolve the governing equation; determining the optimal system of lie symmetry subalgebras; proposing general initial value problems (IVPs) that can be solved with the help of the lie symmetries (even those with initial conditions (ICs) that are not left invariant under the symmetries), and demonstrating how to apply symmetries to find functionally separable solutions. According to our nonclassical analysis: firstly, establish the relationship be- tween the arbitrary functions in the governing equation and the infinitesimals; then, based on the link, the system of determining equations of the nonclassical symmetry is expanded. New strictly nonclassical symmetries (NCLS) of the Fokker-Planck equation (FPE) in three main cases result, determined by assisting the Computer Algebra System Reduce. Furthermore, we explored using symmetries to solve initial value problems (IVPs). In general, the provided condition of the form u(x, 0) = F (x) is believed to require being left invariant under the one-parameter Lie group of transformations that leaves the partial differential equation (PDE) invariant in order to be able to solve IVPs. In accordance with this procedure, general ICs that can be solved by our governing FPE were built using the symmetries that were discovered. The method is explained via a number of examples. We further expanded the major outcome of the paper [1], allowing the most general form of a first-order IC to be permitted by a specific classical symmetry (CLS), by studying the work on symmetries and ICs. The generator was required to keep the initial condition’s invariance due to the results obtained in their study. This thesis extends their finding to the situation when the first-order IC is not required to be left-invariant, allowing for the solution of a large number of IVP using the symmetries. As a result, we offered some examples with classical symmetries (CLS) and set the outcome to our governing FPE with first-order ICs. Furthermore, based on the form of the invariant surface condition (ISC), we have demonstrated how to use the classical symmetries of FPE to find functionally separable solutions in different kinds of forms. To sum up, we have demonstrated in this thesis how classical symmetries approaches can be useful in locating solutions to FPEs, optimal systems, and IVPs. Furthermore, we have shown that functionally separable solutions can be found in a variety of forms by using the classical symmetries of FPEs.

معادله فوكر پلانك , تجزيه و تحليل تقارن دروغ

Fokker-Planck Equation , Lie Symmetry Analysis

Samar Al-Nassar

Dr. Mehdi Najafikhah