30215

مباحثي در حساب ديفرانسيل و انتگرال كواترنيون ها

كارشناسي ارشد

هندسه توپولوژي

1400

1402/07/26

دكتر اكبر دهقان نژاد

دكتر مهدي نجفي خواه

رياضي و علوم كامپيوتر

چكيده در اين پايان نامه، به بررسي مفاهيم حسابان كواترنيوني از جمله ضرب ، جمع ، معكوس و مزدوج ، چرخش كواترنيون‌ها ، تابع نمايي و لگاريتم كواترنيون‌ها و معادلات ديفرانسيل و انتگرال كواترنيون‌ها مي‌پردازيم. همچنين در ادامه، اعداد مختلط و اعداد كواترنيون‌ را با هم مقايسه كرده و فرمول انتگرال كوشي را در صفحه مختلط و تعميم آن را به فرمول كوشي- فوتر در فضاي كواترنيون‌ها اثبات مي‌كنيم. براي مثال، نشان مي‌دهيم كه ضرب در عدد مختلط واحد، چرخش صفحه را اجرا مي‌كند، در حالي كه مزدوج با يك كواترنيون واحد بر روي يك بردار در فضا (كواترنيون با قسمت حقيقي صفر) چرخش حول يك محور در فضا را اجرا ميكند. علاوه بر اين، نشان مي‌دهيم كه چون كواترنيون‌ها غيرقابل تعويض (يا غير جابجايي) هستند، دو تعريف براي مشتق (چپ و راست) تابع U ⊆ H → H: F وجود دارد درحالي كه فقط يك تعريف از مشتق تابع F:U ⊆ C→ Cوجود دارد . اين بدان معني است كه دو مفهوم از تابع منظم F∶ U ⊆ H → H وجود دارد (چپ-منظم و راست-منظم) و به ترتيب دو تعميم متفاوت از فرمول انتگرال كوشي است. عنصر كليدي در اثبات فرمول انتگرال كوشي، قضيه گرين براي انتگرال‌هاي 1- فرمي روي 1-زنجير ها است كه مجموعه‌هاي باز را در R^2 محدود ميكنند، و به طور مشابه براي فرمول كوشي- فوتر، ما از قضيه استوكس تعميم يافته استفاده ميكنيم براي انتگرال هاي 3- فرمي روي 3- زنجيرها كه مجموعه‌هاي باز را در 〖 R〗^4محدود ميكنند.

1402/09/22

Discussions in the differential and integral calculus of quaternions

1/1/1900 12:00:00 AM

Abstract In this thesis, we examine the concepts of quaternion calculus including multiplication, addition, inverse and conjugate, rotation of quaternions, exponential function and logarithm of quaternions and differential and integral equations of quaternions. In the following, we compare complex numbers and quaternion numbers and prove the Cauchy integral formula in the complex plane and its extension to the Cauchy-Fouter formula in the space of quaternions. For example, we show that multiplication by a unit complex number implements a plane rotation, while the conjugate by a unit quaternion over a vector in space (a quaternion with zero real part) implements a rotation about an axis in space. Furthermore, we show that because quaternions are noncommutative (or noncommutative), there are two definitions for the derivative (left and right) of the function F∶ U ⊆ H → H, while there is only one definition of the derivative of the function F∶ U ⊆C→C. This means that there are two concepts of the regular function F∶ U ⊆ H → H (left-regular and right-regular) and are respectively two different generalizations of the Cauchy integral formula. A key element in the proof of the Cauchy integral formula is Green's theorem for 1-form integrals on 1-chains bounding open sets in R^2 , and similarly for the Cauchy-Footer formula, we derive from the generalized Stokes theorem for the integral We use 3-forms on 3-chains that bound open sets in R^4 .

masoumeh akbari

dr. akbar dehghan nazhad