31305

كشف معادلات ديفرانسيل جزئي به شكل انتگرالي از داده‌هاي پراكنده و نويزي با استفاده از يادگيري عميق

كارشناسي ارشد

رياضي كاربردي گرايش آناليز عددي

1401

1403/06/26

دكتر جليل رشيدي نيا

ندارم

رياضي و علوم كامپيوتر

كشف معادلات ديفرانسيل جزئي مبتني بر داده، در سال‌هاي اخير به شدت توجه محققان را به خود جلب كرده است. اگرچه پيشرفت‌هاي قابل‌توجهي در اين زمينه حاصل شده، چالش‌هايي همچنان پابرجا هستند. به‌ويژه، براي معادلات ديفرانسيل جزئي با مشتقات مرتبه بالا، عملكرد روش‌هاي موجود به ويژه در شرايطي كه داده‌ها پراكنده و نويزي باشند،قابل قبول نيست. همچنين، كشف معادلات ديفرانسيل جزئي با پارامترهاي متغير، كه در آن‌ها پارامترها در عملگرهاي ديفرانسيل جزئي جاسازي شده‌اند، بسيار دشوار است. در اين پژوهش، يك چارچوب نوين ارائه مي‌شود كه تركيبي از يادگيري عميق و فرم انتگرالي است، تا بتواند اين مسائل را همزمان حل كرده و دقت و پايداري در كشف معادلات ديفرانسيل جزئي را افزايش دهد. در اين چارچوب، ابتدا يك شبكه عصبي عميق با استفاده از داده‌هاي مشاهده شده آموزش داده مي‌شود تا بتواند متا داده‌ها را توليد كرده و مشتقات را با دقت محاسبه كند. سپس، يك فرم انتگرالي يكپارچه تعريف مي‌شود و الگوريتم ژنتيك براي كشف بهينه‌ترين ساختار مورد استفاده قرار مي‌گيرد. در نهايت، مقادير پارامترها محاسبه شده و مشخص مي‌شود كه آيا اين پارامترها ثابت يا متغير هستند. آزمايش‌هاي عددي نشان مي‌دهند كه به دليل استفاده از فرم انتگرالي، الگوريتم پيشنهادي ما نسبت به نويز مقاوم‌تر و دقيق‌تر از روش‌هاي موجود است. علاوه بر اين، الگوريتم پيشنهادي قادر است به دقت معادلات ديفرانسيل جزئي با مشتقات مرتبه بالا و پارامترهاي متغير را حتي در شرايط داده‌هاي پراكنده و نويزي كشف كند. اين پايان نامه بر مبناي مرجع شماره ]1[ نگارش شده است.

1403/07/08

Discovery of partial differential equations in integral form from sparse data and noise using deep learning

9/16/2025 12:00:00 AM

Data-driven discovery of partial differential equations (PDEs) has attracted increasing attention in recent years. Although significant progress has been made, certain unresolved issues remain. For example, for PDEs with high-order derivatives, the performance of existing methods is unsatisfactory, especially when the data are sparse and noisy. It is also difficult to discover heterogeneous parametric PDEs where heterogeneous parameters are embedded in the partial differential operators. In this work, a new framework combining deep-learning and integral form is proposed to handle the above-mentioned problems simultaneously and improve the accuracy and stability of PDE discovery. In the framework, a deep neural network is firstly trained with observation data to generate meta-data and calculate derivatives. Then, a unified integral form is defined, and the genetic algorithm is employed to discover the best structure. Finally, the values of parameters are calculated, and whether the parameters are constants or variables is identified. Numerical experiments proved that our proposed algorithm is more robust to noise and more accurate compared with existing methods due to the utilization of integral form. Our proposed algorithm is also able to discover PDEs with high-order derivatives or heterogeneous parameters accurately with sparse and noisy data.

كشف معادلات ديفرانسيل جزئي , داده‌هاي نويزي , فرم انتگرالي , يادگيري عميق

PDE discovery , Noisy data , Integral form , Deep learning

Mohammad Mahdi Sharifi Moghadam Badi

Dr. Jalil Rashidinia