34118

روش اسپلاين براي حل معادلات هذلولوي با ضرايب متغير

كارشناسي ارشد

رياضي كاربردي

1402

1404/08/24

جليل رشيدي نيا

جليل رشيدي نيا

رياضي و علوم كاميپوتر

اين پايان‌نامه يك دسته از روش‌هاي عددي با دقت بسيار بالا را كه بر پايه توابع اسپلاين مكعبي غيرچندجمله‌اي بنا شده‌اند، براي حل معادلات ديفرقاني هذلولوي مرتبه دوم با شرايط مرزي تركيبي و ضرايب وابسته به مكان ارائه مي‌كند. در شيوه پيشنهادي، از اسپلاين مكعبي غيرچندجمله‌اي براي گسسته‌سازي در بعد مكان و از روش تفاضل محدود براي گسسته‌سازي در بعد زمان استفاده مي‌شود كه در نهايت به ساخت طرح‌هاي ضمني سه‌مرحله‌اي جديد منجر مي‌گردد. چارچوب اسپلاين غيرچندجمله‌اي در مقايسه با اسپلاين‌هاي چندجمله‌اي معمولي، انعطاف‌پذيري و دقت بيشتري فراهم مي‌آورد، به‌ويژه براي مسائلي كه در نقطه صفر رفتار تكين دارند و بسياري از روش‌هاي استاندارد در آنها دچار ناپايداري يا كاهش دقت مي‌شوند. در اين پژوهش، تحليل پايداري دقيقي از روش‌هاي ارائه‌شده با استفاده از معيار پايداري فون‌نويمان انجام گرفته است. نتيجه‌ها نشان مي‌دهد كه طرح‌هاي پيشنهادي براي گستره وسيعي از پارامترهاي گسستگي، بدون هيچ‌گونه شرط محدودكننده‌اي پايدار هستند. همچنين ويژگي‌هاي نظري سازگاري و همگرايي روش‌ها اثبات و بررسي شده است. افزون بر اين، نشان داده مي‌شود كه با انتخاب مناسب پارامترهاي اسپلاين، بسياري از طرح‌هاي عددي شناخته‌شده در حالت‌هاي همگن و ناهمگن به‌صورت حالت ويژه‌اي از روش‌هاي پيشنهادي به‌دست مي‌آيند؛ موضوعي كه امكان توليد خانواده‌هاي تازه‌اي از طرح‌هاي دقيق را فراهم مي‌كند. براي ارزيابي كارآمدي روش‌هاي مطرح‌شده، چندين مسئله آزمايشي ناهمگن حل شده‌اند. نتيجه‌هاي عددي به‌دست‌آمده بيانگر كارايي، دقت و پايداري بالاي اين روش‌هاست. همچنين مقايسه‌اي با يكي از روش‌هاي موجود در ادبيات نشان مي‌دهد كه روش‌هاي بر پايه اسپلاين ارائه‌شده، دقت و پايداري بسيار بهتري دارند. در مجموع، چارچوب معرفي‌شده ابزار محاسباتي مؤثر و قابل اعتمادي براي حل عددي مجموعه گسترده‌اي از مسائل هذلولوي در رياضيات كاربردي، فيزيك و مهندسي به شمار مي‌رود. اين پايان‌نامه بر پايه برخي پژوهش‌هاي بنيادي پيشين در زمينه روش‌هاي اسپلايني براي حل معادلات هذلولوي شكل گرفته است.

1404/08/27

Spline method for the solution of Hyperbolic equations with variable coefficients

11/22/2025 12:00:00 AM

اين پايان‌نامه يك دسته از روش‌هاي عددي با دقت بسيار بالا را كه بر پايه توابع اسپلاين مكعبي غيرچندجمله‌اي بنا شده‌اند، براي حل معادلات ديفرقاني هذلولوي مرتبه دوم با شرايط مرزي تركيبي و ضرايب وابسته به مكان ارائه مي‌كند. در شيوه پيشنهادي، از اسپلاين مكعبي غيرچندجمله‌اي براي گسسته‌سازي در بعد مكان و از روش تفاضل محدود براي گسسته‌سازي در بعد زمان استفاده مي‌شود كه در نهايت به ساخت طرح‌هاي ضمني سه‌مرحله‌اي جديد منجر مي‌گردد. چارچوب اسپلاين غيرچندجمله‌اي در مقايسه با اسپلاين‌هاي چندجمله‌اي معمولي، انعطاف‌پذيري و دقت بيشتري فراهم مي‌آورد، به‌ويژه براي مسائلي كه در نقطه صفر رفتار تكين دارند و بسياري از روش‌هاي استاندارد در آنها دچار ناپايداري يا كاهش دقت مي‌شوند. در اين پژوهش، تحليل پايداري دقيقي از روش‌هاي ارائه‌شده با استفاده از معيار پايداري فون‌نويمان انجام گرفته است. نتيجه‌ها نشان مي‌دهد كه طرح‌هاي پيشنهادي براي گستره وسيعي از پارامترهاي گسستگي، بدون هيچ‌گونه شرط محدودكننده‌اي پايدار هستند. همچنين ويژگي‌هاي نظري سازگاري و همگرايي روش‌ها اثبات و بررسي شده است. افزون بر اين، نشان داده مي‌شود كه با انتخاب مناسب پارامترهاي اسپلاين، بسياري از طرح‌هاي عددي شناخته‌شده در حالت‌هاي همگن و ناهمگن به‌صورت حالت ويژه‌اي از روش‌هاي پيشنهادي به‌دست مي‌آيند؛ موضوعي كه امكان توليد خانواده‌هاي تازه‌اي از طرح‌هاي دقيق را فراهم مي‌كند. براي ارزيابي كارآمدي روش‌هاي مطرح‌شده، چندين مسئله آزمايشي ناهمگن حل شده‌اند. نتيجه‌هاي عددي به‌دست‌آمده بيانگر كارايي، دقت و پايداري بالاي اين روش‌هاست. همچنين مقايسه‌اي با يكي از روش‌هاي موجود در ادبيات نشان مي‌دهد كه روش‌هاي بر پايه اسپلاين ارائه‌شده، دقت و پايداري بسيار بهتري دارند. در مجموع، چارچوب معرفي‌شده ابزار محاسباتي مؤثر و قابل اعتمادي براي حل عددي مجموعه گسترده‌اي از مسائل هذلولوي در رياضيات كاربردي، فيزيك و مهندسي به شمار مي‌رود. اين پايان‌نامه بر پايه برخي پژوهش‌هاي بنيادي پيشين در زمينه روش‌هاي اسپلايني براي حل معادلات هذلولوي شكل گرفته است.

معادله هذلولوي مرتبه دوم , اسپلاين مكعبي غيرچندجمله‌اي , بررسي پايداري

Second-order hyperbolic equation , ; non-polynomial cubic spline , stability analysis

Hussein AL-Lami

Jalil Rashidinia