4297

4297

جوابهايي براي مساله چهارم هيلبرت از ديدگاه هندسه فينسلري

كارشناسي ارشد

رياضي

1383

پروفسور ابراهيم اسرافيليان

02

ما دراين پايان نامه به مساله چهارم هيلبرت از ديدگاه هندسه فينسلري مي پردازيم .مساله چهارم هيلبرت كه مساله خط راست بعنوان كوتاهترين فاصله بين دو نقطه لقب گرفته است به جستجوي همه توابع فاصله (نه ضرورتا متقارن )مي پردازد كه روي زير مجموعه باري مانند n UÍ R تعريف مي شوند و براي هر دو نقطه دلخواه مانند x y U Î ،خط راست در بين منحني هايي كه اين دو نقطه را بهم وصل مي كنند داراي كوتاهترين طول مي باشد .چون Minkowski مثالهاي جالبي براي توابع فاصله از نوع نامتقارن كشف كرده بود لذا هيلبرت نيز توابع فاصله را ضرورتا متقارن در نظر نگرفته است .مساله چهارم هيلبرت از ديدگاههاي متفاوت بوسيله رياضيدانان مورد بحث قرار گرفته و جوابهايي نيز براي آن ارائه شده است .اما تاكنون اين مساله بطور كامل حل نشده است .از ديدگاه هندسه فينسلري فرض مي كنيم تابع فاصله مورد نظر در مساله هيلبرت بوسيله يك متر فينسلري القاء شده باشد مي دانيم كه در اينصورت براي هر دو نقطه دلخواه در n UÍ R ژئودزيكي كه دو نقطه را بهم متصل مي كند دربين منحني هايي كه اين دو نقطه را بهم وصل مي كنند داراي كوتاهترين طول مي باشد .حال اگر قرار باشد كه متر القايي بوسيله متر فينسلري در مساله هيلبرت صدق كند بايد ژئودزيكهاي اين متر فينسلري خطوط راست در n UÍ R باشند .اين پايان نامه از چهار فصل تشكيل شده است .در فصل اول آشنايي مختصري با فضاهاي فينسلري پيدا مي كنيم مخصوصا دراين فصل به توصيف مترهاي فانك از ديدگاه هندسه فينسلري مي پردازيم .در فصل دوم با فضاهاي اسپري آشنا مي شويم ،از جمله اينكه در اين فصل به ارتباط فضاهاي فينسلري با فضاهاي اسپري مي پردازيم طوري كه از اين ارتباط در فصل سوم استفاده كرده و به توصيف مساله هيلبرت از ديدگاه هندسه فينسلري مي پردازيم و جوابهايي نيز براي آن ارائه مي دهيم .در فصل چهارم نيز همانند فصل سوم جوابهايي براي مساله چهارم هيلبرت ارائه مي شود .ولي در اين فصل اين كار توسط مترهاي فانك و اسپري هاي R - فلت صورت مي گيرد .